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第1章 极限与连续 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 绝对值与常用不等式 2

1.1.3 区间与邻域 2

1.1.4 函数 3

1.1.5 函数的简单性质 4

1.1.6 函数的运算 5

1.1.7 初等函数 7

1.1.8 极坐标系 8

1.1.9 参数方程 11

习题1.1 12

1.2 两个实例 14

1.3 数列极限 15

1.3.1 数列 15

1.3.2 数列的极限 16

1.3.3 数列极限的性质 18

1.3.4 数列极限的四则运算 20

1.3.5 数列收敛判别法与数e 21

习题1.3 25

1.4 函数极限 27

1.4.1 函数在无穷远处的极限 27

1.4.2 函数在一点的极限 29

1.4.3 函数在一点的单侧极限 30

1.4.4 函数极限的性质 31

1.4.5 函数极限的运算 32

1.4.6 两个重要极限 35

习题1.4 38

1.5 无穷小量与无穷大量 39

1.5.1 无穷小量 39

1.5.2 无穷大量 40

1.5.3 无穷小量的比较 41

1.5.4 曲线的渐近线 44

习题1.5 45

1.6 函数的连续性 47

1.6.1 连续函数的概念 47

1.6.2 连续函数的运算 48

1.6.3 初等函数的连续性 49

1.6.4 函数的间断点及其分类 51

1.6.5 闭区间上连续函数的性质 54

习题1.6 55

第2章 一元函数微分学 58

2.1 导数的概念 58

2.1.1 两个实例 58

2.1.2 导数的定义 59

2.1.3 简单函数的导数 62

习题2.1 63

2.2 求导法则 64

2.2.1 导数的运算法则 64

2.2.2 由参数方程确定的函数的导数和隐函数的导数 70

2.2.3 对数求导法 74

习题2.2 76

2.3 高阶导数 77

2.3.1 高阶导数 77

2.3.2 求导法小结 81

习题2.3 82

2.4 微分 82

2.4.1 微分的概念 83

2.4.2 微分的几何意义 84

2.4.3 微分法则 84

2.4.4 微分用于函数值的近似计算 86

习题2.4 88

2.5 微分学中值定理 89

2.5.1 费马引理 89

2.5.2 罗尔定理 90

2.5.3 拉格朗日中值定理 91

2.5.4 柯西中值定理 94

习题2.5 94

2.6 洛必达法则 95

2.6.1 0/0型不定式极限 96

2.6.2 ∞/∞型不定式极限 98

2.6.3 其他不定式极限 100

习题2.6 103

2.7 泰勒公式 105

2.7.1 泰勒公式 105

2.7.2 几个初等函数的泰勒公式 108

2.7.3 泰勒公式的应用举例 111

习题2.7 113

2.8 函数的单调性与极值、最值 113

2.8.1 函数的单调性 113

2.8.2 函数的极值 115

2.8.3 函数的最大值和最小值 117

2.8.4 相关变化率问题 119

习题2.8 120

2.9 函数图形的描绘 122

2.9.1 曲线的凹凸性与拐点 123

2.9.2 函数作图 125

习题2.9 127

2.10 曲线的曲率 129

2.10.1 曲率概念 129

2.10.2 曲率的计算公式 130

2.10.3 曲率圆 131

习题2.10 133

第3章 一元函数积分学 134

3.1 不定积分的概念 134

3.1.1 原函数 134

3.1.2 不定积分 135

3.1.3 基本积分公式 136

3.1.4 不定积分的线性性质 137

习题3.1 139

3.2 不定积分的积分法 139

3.2.1 换元积分法 140

3.2.2 分部积分法 147

3.2.3 有理函数的积分 150

3.2.4 三角函数有理式的积分 155

3.2.5 简单无理式的积分 158

习题3.2 160

3.3 定积分的概念与性质 162

3.3.1 两个实例 162

3.3.2 定积分的定义 164

3.3.3 定积分的性质 165

3.3.4 定积分的几何意义 167

习题3.3 168

3.4 微积分学基本定理 168

3.4.1 变上限的定积分 169

3.4.2 微积分学基本定理 170

习题3.4 173

3.5 定积分的积分法 174

3.5.1 定积分的换元积分法 174

3.5.2 定积分的分部积分法 179

3.5.3 定积分的近似计算 182

习题3.5 184

3.6 定积分的应用 187

3.6.1 建立定积分表达式的微元法 187

3.6.2 平面图形的面积 187

3.6.3 平面曲线的弧长 190

3.6.4 旋转体的体积 192

3.6.5 旋转体的侧面积 193

3.6.6 定积分在物理学中的应用举例 194

习题3.6 196

3.7 广义积分 198

3.7.1 无穷区间上的广义积分 198

3.7.2 无界函数的广义积分 200

3.7.3 小结 202

习题3.7 203

第4章 微分方程 204

4.1 微分方程的基本概念 204

4.1.1 三个实例 204

4.1.2 微分方程的基本概念 206

习题4.1 208

4.2 一阶微分方程 209

4.2.1 可分离变量的微分方程 209

4.2.2 齐次型微分方程 211

4.2.3 一阶线性微分方程 214

4.2.4 伯努利方程 219

4.2.5 黎卡提方程 220

习题4.2 222

4.3 可降阶的高阶微分方程 223

4.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 224

4.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 224

4.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 226

习题4.3 230

4.4 二阶线性微分方程 230

4.4.1 二阶线性微分方程解的性质 231

4.4.2 二阶线性微分方程解的结构 232

4.4.3 二阶线性常系数齐次微分方程 234

4.4.4 二阶线性常系数非齐次微分方程 237

4.4.5 欧拉方程 243

习题4.4 244

4.5 差分方程初步 246

4.5.1 差分方程概念 246

4.5.2 一阶线性常系数差分方程 249

4.5.3 二阶线性常系数差分方程 252

4.5.4 差分方程的应用举例 256

习题4.5 258

部分习题参考答案与提示 259

参考文献 281

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