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引言 1

0.1 微积分的产生 1

0.2 微积分的基本问题 1

0.3 学习微积分的意义 3

第1篇 初等微积分 4

1 函数与极限 4

1.1 集合与映射 4

1.1.1 集合概念 4

1.1.2 集合的运算 5

1.1.3 映射 7

习题1 7

1.2 函数 8

1.2.1 实数域 8

1.2.2 绝对值与不等式 9

1.2.3 函数的概念 10

1.2.4 函数的表示法 12

习题2 13

1.3.1 复合函数 15

1.3 复合函数与反函数 15

1.3.2 反函数 17

1.3.3 初等函数 19

习题3 20

1.4 数列极限 22

1.4.1 数列 22

1.4.2 数列的极限 23

1.4.3 数列极限的性质 25

1.4.4 数列收敛判别法与数e 30

1.4.5 求平方根的近似值 32

习题4 33

1.5 函数极限 36

1.5.1 函数极限的定义 36

1.5.2 函数极限的性质 42

1.5.3 符号o和O 49

习题5 51

1.6 连续函数 53

1.6.1 定义 53

1.6.2 连续函数的运算 56

1.6.3 闭区间上连续函数的性质 57

1.6.4 初等函数的连续性 59

1.6.5 摄动法 60

习题6 62

2 一元函数微分学 65

2.1 导数 65

2.1.1 导数的概念 65

2.1.2 求导法则 69

2.1.3 参数函数与隐函数的导数 74

2.1.4 高阶导数 76

2.1.5 求导法小结 79

习题1 80

2.2 微分 84

2.2.1 微分的概念 85

2.2.2 微分的几何意义 86

2.2.3 微分法则 87

2.2.4 高阶微分 89

习题2 89

2.3 微分学中值定理 90

2.3.1 Fermat引理 90

2.3.2 Rolle中值定理 92

2.3.3 Lagrange中值定理 93

2.3.4 Cauchy中值定理 96

2.3.5 L Hospital法则 97

习题3 103

2.4 Taylor公式 106

2.4.1 Taylor公式 106

2.4.2 几个初等函数的Taylor公式 109

2.4.3 Taylor公式应用举例 112

习题4 115

2.5.1 函数的增减性 117

2.5 微分学的应用 117

2.5.2 最大值和最小值 118

2.5.3 函数作图 120

2.5.4 曲线的曲率 124

2.5.5 方程的近似解 127

2.5.6 相关变化率 130

习题5 130

2.6 内插法 133

2.6.1 问题的提出 133

2.6.2 插值多项式的存在唯一性 134

2.6.3 Newton插值公式 135

2.6.4 插值余项 138

2.6.5 Hermite插值公式 139

习题6 143

3 一元函数积分学 144

3.1 不定积分 144

3.1.1 不定积分的概念 144

3.1.2 换元积分法 148

3.1.3 分部积分法 152

3.1.4 有理函数的积分 155

3.1.5 可化为有理函数积分的积分 158

习题1 162

3.2 定积分 165

3.2.1 定积分的概念 165

3.2.2 定积分的简单性质 170

3.2.3 微积分学基本定理 172

3.2.4 定积分的积分法 175

3.2.5 定积分的近似计算 181

习题2 183

3.3.1 抛物插值法 189

3.3 数值积分方法 189

3.3.2 Simpson法 190

3.3.3 误差估计 191

习题3 193

3.4 定积分的应用 194

3.4.1 平面曲线的弧长 194

3.4.2 面积 197

3.4.3 体积 200

3.4.4 重心、功 201

3.4.5 用定积分定义对数 203

习题4 205

3.5 一元向量值函数的微积分 207

3.5.1 n维Euclid空间 207

3.5.2 一元向量值函数及其运算 208

3.5.3 极限、导数和积分 209

习题5 211

第2篇 高等微积分 213

4 实数论与一元函数微积分论 213

4.1 实数理论 213

4.1.1 数集的确界与确界公理 214

4.1.2 实数连续性各等价命题 215

4.1.3 Stolz定理 220

习题1 222

4.2 连续函数的性质的证明 224

4.2.1 一致连续的概念 224

4.2.2 连续函数的性质的证明 225

习题2 227

4.3.1 数列的上极限与下极限的定义 228

4.3 上极限与下极限 228

4.3.2 上极限与下极限的性质 229

4.3.3 极限点及其极限点集 235

习题3 236

4.4 凸函数 237

4.4.1 凸函数的定义 237

4.4.2 凸函数的性质 238

4.4.3 凸函数的判别法 241

4.4.4 凸函数的应用举例 242

习题4 244

4.5.1 定积分存在的充要条件 245

4.5 定积分存在的充要条件 245

4.5.2 可积函数类 249

4.5.3 三个命题的一般化 251

4.5.4 积分第一中值定理 253

4.5.5 Abel引理和积分第二中值定理 254

习题5 257

4.6 曲线弧长与有界变差函数 259

4.6.1 曲线的弧长 259

4.6.2 有界变差函数与曲线可求长的充要条件 262

4.7.1 无限区间上的广义积分 264

习题6 264

4.7 广义积分 264

4.7.2 无限区间上广义积分的收敛判别法 267

4.7.3 Dirichlet收敛准则与Abel收敛准则 268

4.7.4 无界函数的广义积分 272

4.7.5 广义积分的Cauchy主值 276

习题7 276

习题提示摘要 279

跋 297

参考书目 298

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