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第1章 行列式 1

1.1 内容梗概 1

1.1.1 二（三）阶行列式 1

1.1.2 n阶行列式的定义 2

1.1.3 行列式的性质 3

1.1.4 行列式的计算 4

1.1.5 Cramer法则 5

1.2 疑难解析 6

1.2.1 如何用MATLAB解题 6

1.2.2 行列式和矩阵有何联系 6

1.2.3 对角线法则适用于四阶行列式吗 7

1.2.4 连加和连乘的性质 8

1.2.5 行列式计算的解题信号有哪些 9

1.2.6 何时需要行列式中的逆向思维 9

1.3 典型例题 10

1.3.1 降阶公式和余子式 10

1.3.2 逆序数和行列式的定义 11

1.3.3 n阶行列式的计算 12

1.3.4 Cramer法则的应用 19

1.3.5 行列式、矩阵、分块矩阵、特征值和多解方程 20

1.4 上机解题 20

1.4.1 习题1.1 20

1.4.2 习题1.2 22

1.4.3 习题1.3 23

1.4.4 习题1.4 24

1.4.5 习题1.5 31

第2章 矩阵 36

2.1 内容梗概 36

2.1.1 矩阵的定义 36

2.1.2 矩阵的运算 37

2.1.3 可逆矩阵 38

2.1.4 分块矩阵及其运算 39

2.1.5 初等矩阵与矩阵的初等变换 40

2.1.6 矩阵的秩 42

2.1.7 线性方程组的Gauss消元法 43

2.2 疑难解析 44

2.2.1 如何使用MATLAB矩阵命令 44

2.2.2 为什么矩阵乘法不满足交换律 44

2.2.3 同型、相等、等价、相似和合同的定义与记号 45

2.2.4 行列式的数乘性质和数乘矩阵的行列式 45

2.2.5 如何证明行列式和迹的交换律 46

2.2.6 准对角矩阵的运算性质 46

2.2.7 初等矩阵与初等变换的性质 46

2.2.8 行阶梯形、最简行阶梯形和标准形 47

2.2.9 行列式性质、初等矩阵和方程组的初等变换有何联系 47

2.2.10 可逆矩阵、非奇异矩阵和满秩矩阵有何差别 47

2.2.11 伴随矩阵的性质 48

2.3 典型例题 48

2.3.1 矩阵乘法与乘方 48

2.3.2 行列式、分块矩阵、逆矩阵和伴随矩阵 50

2.3.3 秩的不等式 54

2.3.4 迹的交换性 54

2.3.5 Gauss消元法 55

2.4 上机解题 56

2.4.1 习题2.1 56

2.4.2 习题2.2 57

2.4.3 习题2.3 63

2.4.4 习题2.4 65

2.4.5 习题2.5 69

2.4.6 习题2.6 75

2.4.7 习题2.7 79

第3章 向量与线性空间 85

3.1 内容梗概 85

3.1.1 空间直角坐标系 85

3.1.2 向量与向量的线性运算 86

3.1.3 向量的标量积、向量积及混合积 86

3.1.4 平面与空间直线的方程 88

3.1.5 向量组的线性相关性 90

3.1.6 向量空间 93

3.1.7 线性方程组解的结构 94

3.1.8 n维欧氏空间 95

3.1.9 线性空间和线性变换 97

3.2 疑难解析 99

3.2.1 如何用MATLAB实现行阶梯形、高斯消元法和Schmidt正交化 99

3.2.2 如何用秩表示三个平面的相交关系 99

3.2.3 如何求两异面直线的距离 100

3.2.4 向量空间、矩阵空间、线性空间、线性子空间和欧氏空间有何联系 100

3.2.5 线性变换、矩阵和初等行变换的联系 101

3.2.6 数乘和乘法有何联系 101

3.2.7 矩阵等价和向量组等价有何联系 101

3.2.8 阶梯形和最简行阶梯形有何应用 101

3.2.9 线性变换中的反例 101

3.3 典型例题 102

3.3.1 直线和平面 102

3.3.2 线性相关性、极大线性无关组和线性表示关系 102

3.3.3 方程组解的判别和解方程 105

3.3.4 内积和正交矩阵 107

3.3.5 坐标、过渡矩阵和线性变换的矩阵表示 107

3.4 上机解题 107

3.4.1 习题3.1 107

3.4.2 习题3.2 109

3.4.3 习题3.3 111

3.4.4 习题3.4 114

3.4.5 习题3.5 118

3.4.6 习题3.6 125

3.4.7 习题3.7 127

3.4.8 习题3.8 140

3.4.9 习题3.9 143

第4章 相似矩阵 147

4.1 内容梗概 147

4.1.1 方阵的特征值与特征向量 147

4.1.2 方阵相似对角化 149

4.2 疑难解析 150

4.2.1 如何用MATLAB命令求特征值和特征向量 150

4.2.2 如何理解特征值和特征向量 150

4.2.3 相似变换的本质是什么 151

4.2.4 相似对角化有何应用 151

4.2.5 特征值的隐含定义有哪些 151

4.2.6 正交相似对角化的难点有哪些 151

4.2.7 相似对角化的几个典型反例 152

4.3 典型例题 153

4.3.1 特征值的定义 153

4.3.2 特征多项式的相似不变性 156

4.3.3 伴随矩阵的特征值 156

4.3.4 代数重数、几何重数和相似对角化 157

4.4 上机解题 160

4.4.1 习题4.1 160

4.4.2 习题4.2 164

第5章 二次曲面与二次型 174

5.1 内容梗概 174

5.1.1 二次曲面 174

5.1.2 二次型 176

5.1.3 正定二次型和正定矩阵 178

5.2 疑难解析 180

5.2.1 如何用MATLAB求正交变换矩阵 180

5.2.2 如何用MATLAB作二次曲面图 180

5.2.3 如何求旋转面和投影 182

5.2.4 等价、相似和合同的反例 182

5.2.5 正定矩阵、半正定矩阵、对称矩阵和方阵有何联系 184

5.2.6 正定二次型和半正定二次型的子式有何差异 184

5.3 典型例题 184

5.3.1 惯性定理 184

5.3.2 合同标准形 185

5.3.3 正定矩阵的判别 187

5.3.4 带参数的二次型 188

5.4 上机解题 189

5.4.1 习题5.1 189

5.4.2 习题5.2 198

5.4.3 习题5.3 206

第6章 解题技巧 212

6.1 行列式和迹 212

6.1.1 行列式 212

6.1.2 迹 214

6.2 秩 215

6.3 特征值、特征向量和对角化 216

6.3.1 特征值 216

6.3.2 特征向量 216

6.3.3 对角化 217

6.4 隐含定义 217

6.4.1 特征值的隐含定义 217

6.4.2 秩的隐含定义 217

6.4.3 方程解的隐含定义 218

6.5 不变性和交换律 218

6.5.1 不变性 218

6.5.2 交换律 219

6.6 规范解题 219

6.6.1 Gauss消元法解方程的解题过程 219

6.6.2 矩阵对角化的解题过程 219

6.6.3 求对称矩阵的解题过程 219

6.7 常用反例 220

6.7.1 矩阵乘法 220

6.7.2 方程的解 220

6.7.3 秩、重数、特征值和特征向量 220

6.7.4 正交矩阵和半正定矩阵 221

6.7.5 两个矩阵的关系 221

参考文献 222

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