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引言 1

第一章 矩阵和行列式 3

第1讲 矩阵的概念和运算 5

1.1矩阵的定义 5

1.2矩阵的加法 8

1.3矩阵的数乘 8

1.4矩阵的乘法 9

1.5矩阵的转置 13

思考练习题1 14

习题1 16

第2讲 行列式的概念 17

2.1二阶和三阶行列式 17

2.2排列与逆序 18

2.3n阶行列式的定义 21

思考练习题2 25

习题2 26

第3讲 行列式的性质 28

3.1行列式的性质 28

3.2方阵乘积的行列式 34

思考练习题3 37

习题3 37

第4讲 行列式展开定理 39

4.1行列式按一行展开的公式 39

4.2行列式计算的例 43

4.3按某几行展开定理——拉普拉斯定理 48

思考练习题4 50

习题4 51

第5讲 矩阵的逆和初等变换 54

5.1逆矩阵的概念 54

5.2矩阵的求逆公式 57

5.3矩阵的初等变换和初等矩阵 60

思考练习题5 64

习题5 65

第6讲 矩阵的相抵标准形和矩阵求逆的初等变换法 66

6.1矩阵的相抵与相抵标准形 66

6.2求逆矩阵的初等变换法 70

6.3分块矩阵的初等变换 72

思考练习题6 75

习题6 75

第7讲 解线性方程组的克拉默法则和高斯消元法 77

7.1解线性方程组的克拉默法则 77

7.2解线性方程组的消元法 81

7.3齐次线性方程组的解 86

思考练习题7 87

习题7 88

第8讲 第一章复习与补充 89

8.1矩阵乘积的可交换性 89

8.2矩阵乘积的行列式 91

8.3行列式的计算技巧总结 94

8.4伴随矩阵的公式 96

8.5矩阵的三角分解 97

习题8 99

复习题1 100

第二章 几何空间与线性空间 103

第9讲 几何空间和向量的线性运算 105

9.1几何空间的性质和向量的线性运算 105

9.2直角坐标系 107

9.3若干几何问题 108

9.4一般坐标系（仿射坐标系） 111

思考练习题9 112

习题9 113

第10讲 几何空间中向量的数量积和向量积 114

10.1向量的数量积（内积，点积） 114

10.2向量的数量积的计算方法 117

10.3向量的向量积（外积，叉积） 118

附录A向量积的分配律的证明 120

思考练习题10 121

习题10 121

第11讲 三维空间中的向量的混合积和平面方程 123

11.1向量的混合积 123

11.2平面方程 125

11.3几个平面的位置关系 128

附录B向量的复合积 130

思考练习题11 132

习题11 132

第12讲 三维空间中的直线方程 134

12.1直线方程 134

12.2直线与平面的位置关系 136

12.3两直线的位置关系 137

12.4点到直线的距离 140

思考练习题12 142

习题12 142

第13讲n维向量空间 144

13.1 n维向量和n维向量空间 144

13.2向量组的线性组合与线性表出 146

13.3向量组的线性相关性 147

13.4基与坐标，坐标变换与过渡矩阵 149

思考练习题13 153

习题13 154

第14讲 向量组的线性相关性和秩 155

14.1关于向量组的线性相关性的一些补充 155

14.2两个向量组的关系 156

14.3向量组的极大线性无关组和秩 158

14.4子空间的维数和基 162

思考练习题14 162

习题14 163

第15讲 矩阵的秩 164

15.1矩阵的秩的概念 164

15.2矩阵的秩和向量组的秩的关系 166

15.3矩阵的运算对秩的影响 168

思考练习题15 171

习题15 172

第16讲 线性空间 173

16.1线性空间的定义 173

16.2基与坐标，坐标变换与过渡矩阵 175

16.3线性空间与向量空间的同构 177

附录C关于多项式的概念 179

思考练习题16 180

习题16 180

第17讲 欧氏空间 181

17.1内积与欧氏空间 181

17.2内积的性质 182

17.3标准正交基和正交矩阵 184

17.4施密特标准正交化方法 185

17.5可逆矩阵的QR分解 187

思考练习题17 189

习题17 189

选讲Ⅰ 第二章复习与补充 191

Ⅰ.1空间概念及有关问题 191

Ⅰ.2几何空间中向量之间的乘积，平面与直线方程 193

Ⅰ.3向量组的线性相关性，秩 194

第二章复习题 198

第三章 线性方程组的解的结构 201

第18讲 齐次线性方程组的解的结构 203

18.1齐次线性方程组的解的性质 203

18.2齐次线性方程组的基础解系 204

思考练习题18 210

习题18 210

第19讲 非齐次线性方程组的解的结构 212

19.1非齐次线性方程组有解的条件 212

19.2非齐次线性方程组有解时解的结构 213

19.3矩阵方程的求解 219

思考练习题19 221

习题19 221

选讲Ⅱ矛盾线性方程组的近似解 223

Ⅱ.1近似解的标准——最小距离 223

Ⅱ.2最小二乘法的应用 226

附录D最小二乘法的分析推导 229

习题Ⅱ 230

第三章复习题 230

第四章 矩阵的特征值问题和相似对角化问题 233

第20讲 矩阵的特征值与特征向量 235

20.1方阵的特征值与特征向量 235

20.2方阵的特征多项式及其性质 238

20.3特征向量的性质与特征子空间 241

20.4特征多项式的哈密尔顿-凯莱定理 243

思考练习题20 244

习题20 245

第21讲 矩阵的相似与对角化 246

21.1矩阵的相似 246

21.2矩阵的对角化问题 247

21.3矩阵对角化的应用与例 251

思考练习题21 254

习题21 254

第22讲 实对称矩阵的对角化 256

22.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 256

22.2实对称矩阵的对角化 258

22.3实对称矩阵对角化的计算方法 259

思考练习题22 261

习题22 262

第23讲 线性变换 263

23.1线性变换的概念 263

23.2线性变换的矩阵 265

23.3线性变换在不同基下的矩阵 267

思考练习题23 268

习题23 269

第24讲 正交变换与正交矩阵 271

24.1正交变换 271

24.2正交变换的运算和分类 273

24.3正交变换（正交矩阵）的特征值 276

思考练习题24 278

习题24 278

选讲Ⅲ 第四章复习与补充 280

第四章复习题 284

第五章 二次型与二次曲面 287

第25讲 三维空间中的二次曲面 289

25.1空间曲面方程与平面截割法 289

25.2三维空间中的二次曲面 291

25.3三维空间中的曲线方程 294

思考练习题25 296

习题25 296

第26讲 二次型与它的标准形 297

26.1二次型及其矩阵表示 297

26.2二次型的线性替换和矩阵的合同 298

26.3二次型的标准形和化二次型为标准形的配方法 299

思考练习题26 303

习题26 303

第27讲 化简二次型的正交基变换法，惯性定理 305

27.1化简二次型的正交基变换法 305

27.2化简二次型的初等变换法 308

27.3二次型的规范形和惯性定理 309

思考练习题27 311

习题27 312

第28讲 二次型的正定性 313

28.1正定二次型的概念 313

28.2正定二次型的行列式判断方法 315

28.3正定矩阵的运算 317

思考练习题28 318

习题28 319

第29讲 二次型与二次曲面的分类 320

29.1二次型的分类 320

29.2几何空间中的二次曲面的分类 321

29.3二次型的若干应用 324

思考练习题29 326

习题29 326

第30讲 总复习 328

30.1矩阵与行列式 328

30.2线性方程组求解问题 330

30.3二次型与二次曲面 331

期末考试举例 332

参考文献 338

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