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第1章 Lebesgue测度与Lebesgue积分 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念与运算 1

1.1.2 可数集 3

1.1.3 Rn中的点集 4

1.1.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5

1.2 Lebesgue测度与可测函数 6

1.2.1 Lebesgue测度 6

1.2.2 可测函数 8

1.3 勒贝格（Lebesgue）积分 11

1.3.1 有界函数在测度有限可测集上的Lebesgue积分 11

1.3.2 可测函数在任意可测集上的Lebesgue积分 12

1.3.3 Lebesgue积分的极限性质 13

习题一 16

第2章 度量空间与Banach空间 19

2.1 线性空间、度量空间及赋范空间 19

2.1.1 线性空间 19

2.1.2 度量空间 22

2.1.3 赋范空间 23

2.2 收敛性及空间上的映射 29

2.2.1 收敛性 29

2.2.2 空间上的映射 30

2.2.3 空间中的点集 32

2.2.4 基本性质的进一步刻画 36

2.2.5 空间的同构 37

2.3 完备性与可分性 39

2.3.1 空间的完备性 39

2.3.2 空间的稠密性与可分性 43

2.3.3 Baire纲定理 46

2.4 紧性与有限维空间 49

2.4.1 紧性 49

2.4.2 有限维空间 52

2.4.3 Arzela-Ascoli定理 55

2.4.4 紧集上的映射与函数 56

2.5 空间理论的应用：不动点与最佳逼近 57

2.5.1 Banach压缩映射原理及应用 57

2.5.2 Schauder不动点定理及应用 63

2.5.3 赋范空间中的最佳逼近 64

习题二 66

第3章 线性算子理论基础 68

3.1 有界线性算子与有界线性泛函 68

3.1.1 有界性与连续性 68

3.1.2 算子空间的完备性 70

3.1.3 线性泛函的零空间 71

3.1.4 具体的算子的范数 73

3.2 Banach空间中的基本定理 76

3.2.1 一致有界原理 76

3.2.2 开映射定理与闭图像定理 77

3.2.3 Hahn-Banach定理 82

3.3 Banach空间的共轭性 86

3.3.1 共轭空间的表示 86

3.3.2 自反空间 89

3.3.3 点列的弱收敛性 92

3.3.4 弱紧性 95

3.3.5 算子列的弱收敛性 96

3.4 谱理论初步 98

3.4.1 线性算子的谱 98

3.4.2 谱集的基本性质 102

3.5 算子理论的若干应用实例 106

习题三 112

第4章 Hilbert空间 113

4.1 Hilbert空间 113

4.1.1 内积空间 113

4.1.2 Hilbert空间 114

4.2 投影定理 116

4.3 Hilbert空间的正交系 121

4.3.1 正交集 121

4.3.2 标准正交集的性质 122

4.3.3 Gram-Schmidt正交化 125

4.3.4 内积空间的强收敛与弱收敛 127

4.4 Hilbert空间上的有界线性算子 127

4.4.1 Hilbert空间上的有界线性算子与有界线性泛函 128

4.4.2 Riesz表示定理 129

4.4.3 共轭空间和共轭算子 131

4.4.4 有界线性算子的收敛性 133

4.4.5 有界自伴算子及性质 134

4.4.6 投影算子及其性质 135

4.5 Hilbert空间上的紧算子 137

4.5.1 线性算子的谱与豫解集 137

4.5.2 有界自伴算子的谱 139

4.5.3 紧算子的概念与性质 139

4.5.4 Fredholm两择一定理 144

4.5.5 紧自伴算子的谱分解 147

4.6 酉算子与Fourier变换 148

4.6.1 酉算子 148

4.6.2 L（R）中的Fourier变换 149

4.6.3 L2（尺）中的Fourier变换 152

4.6.4 L（Rn）和L2（Rn）中的Fourier变换 154

习题四 154

第5章 广义函数与Sobolev空间 157

5.1 广义函数的基本概念、基本空间 158

5.1.1 引例 158

5.1.2 基本空间C∞（Rn），C∞ 0（Rn） 160

5.1.3 函数的正则化、磨光算子 161

5.1.4 基本空间S（Rn） 163

5.2 广义函数及其运算 164

5.2.1 D′（Rn），S′（Rn）和ε′（Rn）广义函数 164

5.2.2 广义函数的支集与极限 167

5.2.3 广义函数的导数 168

5.2.4 广义函数的卷积 170

5.3 广义函数的Fourier变换 172

5.3.1 S（Rn）空间上的Fourier变换 173

5.3.2 S′（Rn）空间上的Fourier变换 176

5.4 Sobolev空间简介 180

5.4.1 非负整指数Sobolev空间Hm·p 180

5.4.2 负整指数Sobolev空间H-m·p（Ω） 183

5.4.3 实指数Sobolev空间 184

5.4.4 嵌入定理、迹定理 185

习题五 186

第6章 小波分析基础 190

6.1 Fourier变换 190

6.1.1 L1（R）上的Fourier变换 190

6.1.2 L2（R）上的Fourier变换 191

6.2 信号处理基本概念 192

6.3 短时Fourier变换 194

6.4 连续小波变换 196

6.4.1 小波变换 196

6.4.2 小波变换的性质 197

6.5 多分辨分析 199

6.5.1 多分辨分析 199

6.5.2 尺度方程与共轭镜面滤波器 202

6.6 小波基 203

6.6.1 正交小波基 203

6.6.2 常见小波（基） 205

6.6.3 选择性小波 206

6.7 快速小波算法——Mallat算法 208

6.8 双正交小波 211

6.8.1 双正交小波基 211

6.8.2 快速双正交小波算法 212

6.9 二维可分小波 213

6.9.1 可分多分辨分析与二维可分正交小波 213

6.9.2 快速二维小波变换 214

6.10 小波变换的应用 214

6.10.1 去噪声 214

6.10.2 图像的压缩编码——零树编码方法 217

部分习题答案与提示 220

参考文献 222

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