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1 函数的极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 变量与常用数集 1

1.1.2 函数的基本概念 2

1.1.3 函数的几种基本性态 7

1.1.4 初等函数 9

习题1.1 16

1.2 数列的极限 17

1.2.1 数列定义 17

1.2.2 数列的极限 17

习题1.2 20

1.3 函数的极限 21

1.3.1 自变量x无限增大时的函数极限 21

1.3.2 自变量x趋于有限值时的函数极限 23

1.3.3 子极限 27

1.3.4 极限不存在的情形 28

1.3.5 极限的性质 30

习题1.3 31

1.4 无穷小量与无穷大量 32

1.4.1 无穷小量 32

1.4.2 无穷大量 35

1.4.3 无穷大量与无穷小量之间的关系 36

习题1.4 36

1.5 极限运算法则 37

1.5.1 极限的四则运算法则 37

1.5.2 复合函数的极限运算法则 43

习题1.5 44

1.6 极限存在准则及两个重要极限 45

1.6.1 准则Ⅰ（夹逼准则） 45

1.6.2 准则Ⅱ（单调有界准则） 48

习题1.6 51

1.7 无穷小量的比较 52

习题1.7 56

1.8 函数的连续性 57

1.8.1 函数连续性的概念 57

1.8.2 函数的间断点 59

1.8.3 连续函数的运算法则 62

1.8.4 初等函数的连续性 64

习题1.8 65

1.9 闭区间上连续函数的性质 66

1.9.1 最大值与最小值定理 66

1.9.2 有界性定理 67

1.9.3 零点存在定理与介值定理 68

习题1.9 69

总复习题1 69

2 一元函数微分学 71

2.1 导数的概念 71

2.1.1 导数的概念 71

2.1.2 导数的几何意义 77

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系 78

习题2.1 79

2.2 导数的运算法则与基本公式 79

2.2.1 求导的四则运算法则 80

2.2.2 反函数与复合函数的求导法则 82

2.2.3 求导的基本公式 84

2.2.4 初等函数的导数 85

习题2.2 87

2.3 高阶导数 88

习题2.3 92

2.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数 92

2.4.1 隐函数的导数 93

2.4.2 参数方程确定的函数的导数 95

2.4.3 相关变化率 97

习题2.4 98

2.5 函数的微分及其应用 99

2.5.1 微分的概念 99

2.5.2 微分的几何意义 102

2.5.3 微分的运算法则 102

2.5.4 微分在近似计算中的应用 104

习题2.5 105

总复习题2 105

3 微分中值定理与导数的应用 107

3.1 微分中值定理 107

3.1.1 罗尔定理 107

3.1.2 拉格朗日中值定理 109

3.1.3 柯西中值定理 112

习题3.1 113

3.2 洛必达法则 113

3.2.1 0/0型未定式 114

3.2.2 ∞/∞型未定式 117

3.2.3 其他类型未定式 117

习题3.2 119

3.3 泰勒公式 120

3.3.1 泰勒多项式 120

3.3.2 泰勒中值定理 121

习题3.3 126

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 126

3.4.1 函数的单调性 126

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 129

习题3.4 132

3.5 函数的极值及最大值与最小值 133

3.5.1 函数的极值 133

3.5.2 函数的最大值与最小值 136

习题3.5 138

3.6 函数图形的描绘 139

3.6.1 曲线的渐近线 139

3.6.2 函数图形的描绘 141

习题3.6 143

3.7 曲率 144

3.7.1 弧微分 144

3.7.2 曲率与曲率半径 146

习题3.7 151

总复习题3 151

4 不定积分 153

4.1 不定积分的概念与性质 153

4.1.1 原函数 153

4.1.2 不定积分 154

4.1.3 基本积分公式 155

4.1.4 不定积分的性质 156

习题4.1 158

4.2 不定积分的换元积分法 158

4.2.1 第一类换元积分法 159

4.2.2 第二类换元积分法 163

习题4.2 168

4.3 不定积分的分部积分法 169

习题4.3 173

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 173

4.4.1 有理函数的积分 173

4.4.2 三角有理函数的积分 177

习题4.4 178

4.5 积分表的使用 179

4.5.1 被积函数的类型能直接从积分表中查找到 179

4.5.2 被积函数的类型不能直接从积分表中查找到，需要先进行转换，再查表 179

习题4.5 180

总复习题4 180

5 定积分 182

5.1 定积分的概念与性质 182

5.1.1 引例 182

5.1.2 定积分的概念 184

5.1.3 定积分的几何意义 185

5.1.4 定积分的性质 186

习题5.1 190

5.2 微积分基本定理 191

5.2.1 变上限积分函数及其导数 191

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 192

习题5.2 195

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 196

5.3.1 定积分的换元积分法 196

5.3.2 定积分的分部积分法 200

习题5.3 202

5.4 反常积分 203

5.4.1 无穷区间上的反常积分 203

5.4.2 无界函数的反常积分 205

习题5.4 206

总复习题5 207

6 定积分的应用 209

6.1 定积分的元素法 209

6.2 定积分在几何上的应用 210

6.2.1 平面图形的面积 210

6.2.2 体积 214

6.2.3 平面曲线的弧长 216

习题6.2 218

6.3 定积分在物理上的应用 220

6.3.1 变力沿直线做功 220

6.3.2 侧压力 221

6.3.3 引力 222

习题6.3 223

总复习题6 223

参考答案 225

附录Ⅰ 预备知识 234

附录Ⅱ 一些常用的中学数学公式 242

附录Ⅲ 几种常用的曲线（a＞0） 244

附录Ⅳ 基本积分表 247

附录Ⅴ MATLAB软件简介（上） 258

参考文献 283

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