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第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　实数的绝对值与区间 1

1.1.2　函数的定义 3

1.1.3　初等函数 8

1.1.4　极坐标简介 11

习题1.1 13

1.2　数列的极限 14

1.2.1　数列极限的定义 15

1.2.2　收敛数列的性质 17

习题1.2 19

1.3　函数的极限 20

1.3.1　函数极限的定义 20

1.3.2　函数极限的性质 24

习题1.3 25

1.4 无穷小与无穷大 26

1.4.1　无穷小及其性质 26

1.4.2　无穷大 27

1.5　极限的运算法则 30

1.5.1　极限的四则运算法则 30

习题1.4 30

1.5.2　复合函数的极限运算法则 34

习题1.5 35

1.6　极限存在的准则 两个重要极限 35

1.6.1　极限存在的准则Ⅰ 36

1.6.2　极限存在的准则Ⅱ 39

习题1.6 43

1.7　无穷小的比较 44

1.8　函数的连续性 47

1.8.1　函数的连续性 47

习题1.7 47

1.8.2　函数的间断点 49

1.8.3　连续函数的和、差、积、商的连续性 52

1.8.4　反函数与复合函数的连续性 53

1.8.5　初等函数的连续性 55

习题1.8 57

1.9 闭区间上连续函数的性质 58

1.9.1　有界性与最值定理 58

1.9.2　零点定理及介值定理 59

1.9.3　函数的一致连续性 60

习题1.9 62

本章小结 63

综合练习一 67

第2章　导数与微分 71

2.1　导数的概念 71

2.1.1　引例 71

2.1.2　导数的定义 73

2.1.3　基本导数公式 75

2.1.4　导数的几何意义 77

2.1.5　函数的可导性与连续性的关系 78

习题2.1 79

2.2　函数的求导法则 80

2.2.1　函数和、差、积、商的求导法则 80

2.2.2　反函数的求导法则 81

2.2.3　复合函数的求导法则 82

习题2.2 86

2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 86

2.3.1　隐函数的导数 86

2.3.2　对数求导法 88

2.3.3　由参数方程所确定的函数的导数 89

习题2.3 90

2.4　高阶导数 90

2.4.1　高阶导数的定义 90

2.4.2　高阶导数的计算方法 91

习题2.4 93

2.5.1　微分的定义 94

2.5 函数的微分及其应用 94

2.5.2　可微的条件 95

2.5.3　微分的几何意义 96

2.5.4　基本初等函数的微分公式 96

2.5.5　微分法则 96

2.5.6　微分的应用 98

习题2.5 100

本章小结 101

综合练习二 104

3.1.1　罗尔（Rolle）定理 106

第3章　微分中值定理与导数的应用 106

3.1　微分中值定理 106

3.1.2　拉格朗日（Lagrange）中值定理 107

3.1.3　柯西（Cauchy）中值定理 110

习题3.1 112

3.2　洛必达（L'Hospitol）法则 112

3.2.1　？型不定式 113

3.2.2　？型不定式 114

3.2.3　其他不定式 116

习题3.2 117

3.3　泰勒公式 118

习题3.3 121

3.4 函数的单调性、极值、最大值与最小值 122

3.4.1　函数单调性的判别法 122

3.4.2　函数的极值 124

3.4.3　函数的最大值最小值问题 127

习题3.4 130

3.5 曲线的凹凸性、拐点及函数作图 130

3.5.1　曲线的凹凸性及拐点 130

3.5.2　函数作图 134

习题3.5 138

3.6　相关变化率　边际分析与弹性分析介绍 139

3.6.1　相关变化率 139

3.6.2　边际分析 140

3.6.3　弹性分析 141

3.6.4　增长率 143

习题3.6 143

3.7　曲率 144

3.7.1　弧微分 144

3.7.2　曲率及其计算公式 145

习题3.7 148

3.7.3　曲率圆与曲率半径 148

3.8　方程的近似解 149

3.8.1　二分法 149

3.8.2　切线法 150

习题3.8 152

本章小结 152

综合练习三 155

第4章　不定积分 157

4.1　不定积分的概念 157

4.1.1　原函数与不定积分 157

4.1.2　基本积分表 159

4.1.3　不定积分的基本性质 160

4.1.4　不定积分的运算性质 160

习题4.1 162

4.2　换元积分法 163

4.2.1　第一类换元法 163

4.2.2　第二类换元法 169

习题4.2 176

4.3　分部积分法 177

习题4.3 183

4.4　有理函数的积分 184

4.5　积分表的使用 188

习题4.4 188

习题4.5 190

本章小结 191

综合练习四 192

第5章　定积分及其应用 196

5.1　定积分的概念 196

5.1.1　实例 196

5.1.2　定积分的定义 198

5.1.3　定积分的性质 201

习题5.1 205

5.2.1　变上限的定积分（原函数存在定理） 206

5.2　微积分基本公式 206

5.2.2　微积分的基本公式（牛顿—莱布尼茨公式） 208

习题5.2 211

5.3　定积分的计算方法 212

5.3.1　定积分的换元法 212

5.3.2　定积分的分部积分法 216

习题5.3 218

5.4　广义积分（反常积分） 219

5.4.1　无穷区间的广义积分 220

5.4.2　无界函数的广义积分——瑕积分 222

习题5.4 224

5.5　Γ函数 225

习题5.5 226

5.6　定积分的微元法 227

5.7　定积分在几何学上的应用 229

5.7.1　平面图形的面积 229

5.7.2　体积 233

5.7.3　平面曲线的弧长 236

习题5.7 238

5.8　定积分在经济学中的应用举例 239

习题5.8 241

5.9.1　变力做功 242

5.9 定积分在物理学中的应用 242

5.9.2　引力 244

5.9.3　水压力 245

习题5.9 246

本章小结 247

综合练习五 250

附录Ⅰ 希腊字母及常用数学公式 255

附录Ⅱ 几种常用的曲线方程及图形 259

附录Ⅲ　积分表 262

习题参考答案与提示 270

参考文献 282

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