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第一章 基本概念 1

1 引入常微分方程的几个实例 1

习题一 7

2 常微分方程的一些基本概念 7

2.1 方程的阶，线性方程和非线性方程 7

2.2 方程的解，初值条件，特解和通解 9

2.3 线素场——方程的几何意义 12

习题二 16

本章小结 17

复习题 18

第二章 初等积分法 20

1 变量分离的方程，齐次方程 20

1.1 变量分离的方程 20

1.2 齐次方程 25

习题一 29

2 一阶线性方程，伯努利方程 30

2.1 一阶线性方程与常数变易法 30

2.2 伯努利方程 37

习题二 38

3 全微分方程，积分因子 40

3.1 微分方程与线素场概念的扩充 40

3.2 全微分方程 43

3.3 积分因子 51

习题三 57

4 一阶显式方程的解法综合举例 57

习题四 66

5 一阶隐式方程 66

5.1 可解出dy/dx的方程 66

5.2 克莱罗方程 70

5.3 奇解 75

5.4 y=？（x,dy/dx）型方程和x=ψ（y,dy/dx）型方程的解法举例 76

习题五 80

6 几种可降阶的二阶方程 81

6.1 d2y/dx2=f（x）型方程 81

6.2 d2y/dx2=f（x,dy/dx）型方程 82

6.3 d2y/dx2=f（y,dy/dx）型方程 84

习题六 86

7 应用实例 86

习题七 96

本章小结 96

复习题 97

第三章 一阶微分方程的基本理论 100

1 初值问题解的存在唯一性 100

1.1 毕卡逐次逼近法与存在唯一性定理 100

1.2 初值问题解的存在性和唯一性的讨论 116

习题一 121

2 解的延展 121

2.1 延展的概念 121

2.2 延展定理 126

2.3 贝尔曼不等式引理 131

2.4 非局部存在性定理 133

习题二 136

3 解对初值和解对参数的连续依赖性和可微性 137

3.1 解对初值的连续依赖性定理 137

3.2 解对初值的可微性定理 145

3.3 解对参数的连续依赖性和可微性定理 148

习题三 150

本章小结 151

复习题 152

第四章 线性微分方程 155

1 线性微分方程的一般理论 155

1.1 初值问题解的存在唯一性定理的叙述 155

1.2 齐次线性方程的通解结构的基本理论 157

1.3 非齐次线性方程的通解结构 166

习题一 171

2 常系数齐次线性方程的解法 173

2.1 特征方程的根都是单根的情形 174

2.2 一般情形 180

习题二 186

3 常系数非齐次线性方程的解法 187

3.1 f(x)=Pm(x)eμx的情形 188

3.2 f(x)=Pm(x)eμx cosvx和f(x)=Pm(x)eμx sinvx的情形 195

习题三 199

4 变系数线性方程 199

4.1 求非齐次线性方程解的常数变易法 199

4.2 欧拉方程 206

4.3 幂级数解法举例 208

习题四 216

5 回路振荡 217

习题五 221

本章小结 221

复习题 223

第五章 常微分方程组 225

1 预备知识 225

1.1 矩阵函数与向量函数 225

1.2 矩阵和向量的模 229

1.3 矩阵函数级数和向量函数级数 232

习题一 236

2 微分方程组的一般理论 237

2.1 微分方程组的一般概念 237

2.2 一阶方程组的解的基本理论 242

习题二 243

3 线性微分方程组的一般理论 245

3.1 一阶齐次线性方程组的解的理论 246

3.2 一阶非齐次线性方程组的解的理论与常数变易法 259

习题三 267

4 常系数线性方程组的解法 269

4.1 eAt 270

4.2 特征方程的根都是单根的情形 274

4.3 一般情形 281

4.4 常系数非齐次线性方程组的解法 301

习题四 301

本章小结 303

复习题 305

第六章 定性理论与稳定性理论初步 307

1 二维自治系统与相平面 307

习题一 316

2 平面奇点 317

2.1 二维线性系统的轨线分布 318

2.2 二维非线性系统在奇点邻域内轨线的分布 329

习题二 335

3 极限环 336

习题三 339

4 李雅普诺夫稳定性 340

4.1 稳定性概念 340

4.2 一次近似理论 345

习题四 356

5 自治系统的李雅普诺夫第二方法 358

习题五 366

本章小结 367

复习题 369

第七章 一阶偏微分方程 371

1 一阶常微分方程组的首次积分 371

习题一 389

2 一阶线性齐次偏微分方程 390

习题二 396

3 一阶拟线性偏微分方程 396

习题三 410

本章小结 411

复习题 412

总复习题 413

习题答案 419

索引 440

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