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第一章　Green函数 1

1．一维问题 1

1.1　问题的提出 1

1.2　Green函数的特性和物理意义 2

1.3　广义函数与δ函数 4

1.4　共轭微分算子和广义解 12

1.5　Green 函数的定义与Green公式 13

2．位势方程 15

2.1　共轭微分算子和广义解 15

2.2　Green函数的定义和物理意义 16

2.3　Green公式 17

2.4　Green函数的结构与基本解 18

2.5　第二边值问题的Green函数 20

3．Green函数的求法 21

3.1　镜像法 21

3.2　共形变换法 29

4．热传导方程 32

4.1　热传导方程初值问题的基本解 32

4.2　热传导方程混合问题的Green函数 35

4.3　Green公式与混合问题的解 36

4.4　Green函数的求法 38

第二章　变分方法 43

1．Hilbert空间与Sobolev空间 43

1.1　内积空间 43

1.2　Hilbert空间 47

1.3　正交分解与投影定理 48

1.4　有界线性泛函与Riesz表示定理 51

1.5　Sobolev空间 54

2．变分原理 61

2.1　膜平衡问题 61

2.2　Dirichlet原理与广义解 63

2.3　其他边值问题的变分原理 65

2.4　Lax-Milgram定理 69

2.5　广义解的可微性 74

3．变分问题的几种近似解法 75

3.1　Ritz方法 75

3.2　Galerkin方法 77

3.3　有限元方法 80

4．发展方程的变分方法 87

4.1　弱形式 87

4.2　半离散化方法 88

4.3　Fourier方法 90

4.4　有限元解（Galerkin解）的误差估计 93

4.5　全离散化方法 95

4.6　稳定性分析 96

第三章　分离变量法 98

1．方法概述 98

2．Sturm-Liouville问题 100

2.1　Sturm-Liouville边值问题 100

2.2　Sturm-Liouville问题的几个重要性质 101

2.3　Sturm-Liouville问题的变分形式 104

2.4　基本定理 119

3．Sturm-Liouville问题的推广 120

3.1　多维Sturm-Liouville问题 120

3.2　算子方程的特征值问题 122

3.3　奇异Sturm-Liouville问题 124

4．应用实例 125

第四章　特征线方法 135

1．概述 135

2．单个方程 136

3．双曲型方程组 141

4．初边值问题 144

第五章　非线性波 149

1．拟线性双曲守恒律方程组 149

1.1　基本概念与定义 149

1.2　例子 152

1.3　特征线方法及局部经典解 159

2．间断解 163

2.1　解的定义 163

2.2　Rankine-Hugoniot条件 164

2.3　熵条件 164

2.4　Riemann问题 167

3．非线性波（经典解情形） 168

3.1　整体经典解 168

3.2　导数的突变和破裂时间 169

3.3　疏散波与压缩波 173

3.4　应用实例——追赶问题 174

4．非线性波（间断解情形） 179

4.1　单个守恒律 179

4.2　激波的形成与传播 181

4.3　Riemann问题 185

第六章 连续介质力学的数学模型 190

1．预备知识 190

2．应变矩阵 192

3．应力矩阵 198

4．守恒律 201

4.1　质量守恒律 202

4.2　动量守恒律 202

4.3　能量守恒律 203

5．相容性定律和数学模型（流体情形） 205

5.1　不可压理想流体运动方程组 205

5.2　不可压粘性流体运动方程组 206

5.3　渗流问题 211

5.4　热传导问题 214

5.5　相变 217

6．相容性定律和数学模型（固体情形） 219

6.1　弹性体的平衡与振动 219

6.2　平面应力和平面应变问题 223

6.3　板的弯曲问题 225

7．相似解（量纲分析） 230

第七章　气体动力学方程组 236

1．气体动力学方程组 236

1.1　基本物理概念 236

1.2　基本物理规律 239

1.3　基本方程 240

2．特殊流动的方程组 243

2.1　一维流动 243

2.2　柱对称流 246

2.3　球对称流 246

2.4　守恒律的统一形式 247

3．接触间断与激波 248

3.1　预备知识 248

3.2　Rankine-Hugoniot条件 249

3.3　基本波Ⅰ：接触间断 251

3.4　基本波Ⅱ：激波 252

4．Riemann问题 258

4.1　Riemann问题的自模解 259

4.2　激波曲线及中心疏散波曲线 265

4.3　Riemann问题 271

名词索引 277

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