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第一章 矢量及其线性运算 1

1 矢量概念 1

2 矢量线性运算 3

2.1 矢量加法及其运算规律 3

2.2 数量乘矢量及其运算规律 5

3 矢量的线性关系 9

3.1 矢量的线性组合 9

3.2 矢量的线性关系 11

4 平行投影 有向直线 直线上矢量的代数长 14

4.1 平行投影 14

4.2 有向直线 15

4.3 直线上矢量的代数长 16

结束语 17

第二章 仿射坐标系 直线和平面 18

1 空间仿射坐标系 18

1.1 空间仿射坐标系的建立 18

1.2 矢量的分量(或坐标) 19

1.3 点的坐标 21

1.4 平行投影与仿射坐标系 22

1.5 图和例 24

2 直线 27

2.1 直线方程 27

2.2 矢量的定比分割 31

2.3 两直线的相对位置 32

3 平面 35

3.1 平面的参数方程 35

3.2 平面的普遍方程 36

3.3 三元一次多项式的符号 41

3.4 矢量与平面平行的条件 42

3.5 两平面的相对位置 43

3.6 对于坐标系有特殊位置的平面 45

4 直线和平面间的关系 49

4.1 直线与平面的相对位置 49

4.2 平面束 平面把 直线把 49

4.3 三个平面的相对位置 53

结束语 60

第三章 矢量的数积和矢积 直角坐标系下的直线和平面 62

1 数积 62

1.1 矢量数积的定义 62

1.2 数积运算规律 63

2 矢积 68

2.1 两矢矢积的定义和推论 68

2.2 矢积运算规律 68

3 三矢混合积 73

4 三矢矢积 拉格朗日恒等式 76

4.1 三矢矢积 76

4.2 拉格朗日恒等式 78

5.1 坐标系的建立 80

5 空间直角坐标系 80

5.2 对称点 正投影 81

5.3 矢量运算在直角坐标系下的表示式 81

5.4 直角坐标系作图法 85

6 角度 距离 87

6.1 方向角 方向余弦 方向系数 87

6.2 平面的法矢 87

6.3 角度 88

6.4 距离 89

7.1 平面法方程 94

7 平面法方程 94

7.2 化普遍方程为法方程 96

7.3 平面到点的有向距离 97

结束语 99

第四章 几种常见的曲面 101

1 柱面 101

1.1 几种二阶柱面 101

1.2 一般柱面 106

2 锥面 109

2.1 圆锥面 110

2.2 一般锥面 111

3 回转面 119

4 椭圆面 125

5 双曲面 131

5.1 单叶双曲面 131

5.2 双叶双曲面 134

6 二阶锥面 136

6.1 二阶锥面的标准方程 136

6.2 二阶锥面作为双曲面的渐近锥面 137

7 抛物面 138

7.1 椭圆抛物面 138

7.2 双曲抛物面 140

8.1 单叶双曲面作为二阶直纹面 143

8 二阶直纹面 143

8.2 双曲抛物面作为二阶直纹面 147

9 曲面和曲线的表示法 153

9.1 关于曲面和曲线方程的一般概念 153

9.2 曲面和曲线的参数方程 155

9.3 由曲线产生的曲面 158

结束语 163

第五章 坐标变换与线性变换 164

1 矩阵 165

1.1 矩阵的定义 165

1.2 矩阵的乘法 166

1.3 矩阵乘法的结合律 169

2.1 底矢变换 172

2 仿射坐标变换 172

2.2 矢的分量变换 175

2.3 点的坐标变换 176

3 直角坐标变换 185

3.1 底矢变换 185

3.2 矢的分量变换 188

3.3 点的坐标变换 189

4 齐次线性变换 199

4.1 齐次线性变换乘法 200

4.2 逆变换 202

4.3 变换群 齐次线性变换群 齐次正交变换群 204

5 线性变换 214

5.1 线性变换乘法 215

5.2 满秩线性变换的逆变换 216

5.3 线性变换群与正交变换群 217

结束语 219

第六章 仿射和直角坐标系下的二阶曲面 221

前言 221

1 二阶曲面和直线的交点 225

2 在仿射坐标系下，对二阶曲面的考察 227

2.1 切线，切面和极面，奇点 227

2.2 切锥面和切柱面 232

2.3 渐近方向和中心 233

2.4 共轭直径面和奇向 239

2.5 共轭方向和共轭直径 243

3 二阶曲面的仿射标准方程 250

3.1 中心曲面(r=3) 250

3.2 r=2的无心曲面 252

3.3 (r=2的)线心曲面 253

3.4 r=1的无心曲面 254

3.5 (r=1的)面心曲面 256

4 在直角坐标系下，对二阶曲面的考察 260

4.1 主方向和主直径 261

4.2 (正交)不变量和半不变量 264

4.3 互相垂直又互相共轭的主方向 271

5 二阶曲面的(度量)标准方程 276

5.1 中心曲面(r=3) 277

5.2 r=2的无心曲面 278

5.3 (r=2的)线心曲面 279

5.4 r=1的无心曲面 281

5.5 (r=1的)面心曲面 281

结束语 287

第七章 欧氏几何与仿射几何 291

1 刚体运动 292

1.1 刚体运动的变换公式 293

1.2 刚体运动的分解 294

2.2 等距变换 297

2.1 反射 297

2 等距变换 欧氏几何 297

2.3 图形的等价与分类 300

2.4 二阶曲面的度量分类 300

3 仿射变换 301

4 仿射几何 305

5 仿射变换的分解 309

6 二阶曲面的仿射分类 313

结束语 314

第八章 射影几何简介 317

1 扩大空间与射影空间 317

1.1 扩大直线与射影直线 317

1.2 扩大平面与射影平面 319

1.3 扩大空间与射影空间 321

2 对偶原则 326

2.1 结合关系 326

2.2 对偶原则 328

3 射影坐标与射影坐标变换 338

3.1 直线上的射影坐标 338

3.2 空间的射影坐标 339

3.3 射影坐标变换 341

4 射影变换与射影几何 346

4.1 射影变换与射影群 346

4.2 射影性质与射影几何 349

4.3 关于射影变换的基本定理 351

5 交比 354

5.1 直线上的交比 354

5.2 面束和线束中的交比 359

5.3 交比作为射影不变量 360

5.4 经过投影截影交比的不变性 361

5.5 欧氏空间中交比的几何意义 364

5.6 调和比 366

6 二阶曲面 376

6.1 有关二阶曲面的若干射影概念 377

6.2 扩大空间二阶曲面和无穷远元素的关系 383

6.3 从扩大空间看二阶曲面的仿射分类 385

6.4 无穷远圆 388

6.5 二阶曲面的射影分类 389

7 从复空间二阶曲面的射影分类谈起 395

结束语 398

1.关于变换群与几何学 398

2.关于对偶原则 399

3.关于二阶曲面 400

4.关于两个二阶曲面的交线 401

5.关于直线坐标 403

6.关于欧氏几何与非欧几何 404

7.关于射影几何基础与n维射影几何 406

名词索引 409

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