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第1章 复数 1

1.1 复数的定义及其四则运算 1

1.1.1 复数的定义 2

1.1.2 复数的四则运算 3

1.2 复数的几何表示 4

1.2.1 复数的三角形式 4

1.2.2 复数的开方 8

1.2.3 复数的指数形式 9

1.2.4 共轭复数 10

1.2.5 球极投影 11

1.3 平面点集的复数表示 12

1.3.1 平面有向曲线 13

1.3.2 平面区域 15

1.4 复变函数 19

1.4.1 复变函数的定义 19

1.4.2 复变函数的分量表示 20

习题1 22

第2章 解析函数的微积分 24

2.1 复变函数的极限和连续性 24

2.1.1 复数列的极限 24

2.1.2 复变函数的极限和连续性 25

2.2 复变函数的导数和解析函数 28

2.2.1 复变函数的导数 28

2.2.2 Cauchy-Riemann方程 30

2.2.3 解析函数 32

2.2.4 解析函数的判定定理 33

2.3 初等函数 35

2.3.1 指数函数 36

2.3.2 对数函数 37

2.3.3 三角函数 40

2.3.4 双曲函数 42

2.3.5 幂函数 43

2.3.6 反三角函数 45

2.4 复变函数的积分 46

2.4.1 复积分 46

2.4.2 复变函数关于弧长的积分 50

2.4.3 复积分与路径的关系 53

2.5 Cauchy型积分公式 56

2.5.1 Cauchy积分定理 56

2.5.2 Cauchy积分公式 59

2.5.3 Cauchy高阶导数公式 63

2.6 调和函数 67

2.6.1 调和函数与共轭调和函数 67

2.6.2 极值原理和Liouville定理 72

习题2 76

第3章 解析函数的级数理论与留数定理 82

3.1 复数列的级数与幂级数 82

3.1.1 复数项级数，函数项级数与幂级数 82

3.1.2 幂级数的收敛圆盘 84

3.1.3 幂级数的和函数 86

3.2 Taylor级数 87

3.2.1 Taylor级数 88

3.2.2 初等函数的Taylor级数 90

3.2.3 解析函数的零点 92

3.3 Laurent级数 96

3.3.1 Laurent级数的定义和Laurent级数定理 96

3.3.2 Laurent级数的计算 99

3.4 孤立奇点 101

3.4.1 孤立奇点的定义与分类 102

3.4.2 解析函数在孤立奇点处的极限 104

3.4.3 解析函数在无穷远点的奇性 109

3.5 留数定理 112

3.5.1 留数 112

3.5.2 留数定理 115

3.5.3 函数在无穷远点的留数 117

3.6 留数定理在计算实积分中的应用 122

3.6.1 形如∫ 2π 0 R（cos θ， sin θ）dθ的积分 122

3.6.2 形如∫＋∞ －∞ P（x）/Q（x） dx的积分 124

3.6.3 形如∫＋∞ －∞ P（x）/Q（x） e iax dx的积分 126

3.6.4 其他类型积分计算举例 128

3.7 幅角原理与Rouche定理 132

3.7.1 幅角原理 132

3.7.2 Rouche定理及其应用 133

习题3 137

第4章 积分变换 142

4.1 Fourier变换 142

4.1.1 Fourier变换的定义 143

4.1.2 Fourier变换的性质 145

4.1.3 Fourier逆变换 149

4.1.4 Dirac-Delta函数 152

4.2 Laplace变换 156

4.2.1 Laplace变换的定义与性质 156

4.2.2 Laplace逆变换 164

4.2.3 有理函数的Laplace逆变换 166

4.3 积分变换在求解线性微分方程中的应用 169

4.3.1 利用Laplace变换求解线性常微分方程 169

4.3.2 利用Fourier变换求解微分方程 171

习题4 172

第5章 共形映照 176

5.1 导数的几何意义与共形性 176

5.1.1 曲线间的夹角和映射的伸缩率 176

5.1.2 解析函数导数的几何意义 181

5.1.3 共形映照 183

5.2 分式线性变换 186

5.2.1 扩充复平面上的圆 186

5.2.2 分式线性变换及其共形性 187

5.2.3 保圆性、保域性和保对称点性 189

5.2.4 两个常用的分式线性变换 193

5.3 初等函数的共形性 195

5.3.1 幂函数 195

5.3.2 指数函数与对数函数 196

5.3.3 单连通区域到上半平面或单位圆盘的共形映照 197

习题5 201

参考文献 204

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