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第1章 矩阵 1

1.1 基本要求精述 1

1.2 基本内容精讲 1

1.2.1 矩阵的概念 1

1.2.2 矩阵的运算 2

1.2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵 3

1.2.4 可逆矩阵的定义 4

1.2.5 可逆矩阵的性质 4

1.2.6 可逆矩阵的判别方法 4

1.2.7 逆矩阵的计算方法 5

1.2.8 分块矩阵 5

1.3 典型例题精析 7

1.3.1 矩阵乘法 7

1.3.2 方阵幂的计算 9

1.3.3 逆矩阵的计算 13

1.3.4 求解矩阵方程 17

1.3.5 有关矩阵可逆的证明题 18

1.3.6 综合题 20

1.4 习题全解 22

1.5 考研试题精选 31

1.6 单元练习精练 35

1.7 单元练习精解 41

第2章 行列式 46

2.1 基本要求精述 46

2.2 基本内容精讲 46

2.2.1 行列式的定义 46

2.2.2 行列式的性质 47

2.2.3 特殊行列式的值 47

2.2.4 分块矩阵对应的行列式公式 48

2.2.5 与矩阵运算有关的行列式公式 49

2.2.6 行列式的计算 49

2.2.7 行列式的应用 49

2.2.8 与行列式有关的结论 50

2.3 典型例题精析 50

2.3.1 利用行列式的定义计算行列式 50

2.3.2 直接用行列式的性质计算行列式 51

2.3.3 利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 54

2.3.4 利用降阶法计算行列式 57

2.3.5 利用升阶法计算行列式 58

2.3.6 利用递推法计算行列式 59

2.3.7 利用析因子法计算行列式 61

2.3.8 利用范德蒙行列式计算和证明 62

2.3.9 涉及矩阵运算的行列式计算 63

2.3.10 利用分块行列式公式计算行列式 64

2.3.11 行列式的应用 67

2.3.12 综合题 70

2.4 习题全解 72

2.5 考研试题精选 81

2.6 单元练习精练 84

2.7 单元练习精解 90

第3章 线性代数方程组 96

3.1 基本要求精述 96

3.2 基本内容精讲 96

3.2.1 矩阵秩的定义 96

3.2.2 矩阵秩的性质 96

3.2.3 矩阵秩的有关结论 97

3.2.4 矩阵秩的求法 97

3.2.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 97

3.2.6 齐次线性方程组 97

3.2.7 非齐次线性方程组 98

3.3 典型例题精析 99

3.3.1 用定义求矩阵的秩 99

3.3.2 用初等变换法求矩阵的秩 99

3.3.3 用性质求矩阵的秩 100

3.3.4 用有关结论求矩阵的秩 101

3.3.5 用齐次方程的基础解系求矩阵的秩 102

3.3.6 齐次线性方程组的求法 102

3.3.7 非齐次线性方程组的求法 104

3.3.8 逆矩阵法求线性方程组的解 107

3.3.9 利用解的结构求非齐次方程组的通解 107

3.4 习题全解 108

3.5 考研试题精选 119

3.6 单元练习精练 122

3.7 单元练习精解 128

第4章 向量 131

4.1 基本要求精述 131

4.2 基本内容精讲 131

4.2.1 n维向量 131

4.2.2 向量的内积 131

4.2.3 线性组合、线性相关、线性无关的定义 132

4.2.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 132

4.2.5 向量的线性相关性的有关结论 132

4.2.6 向量组的极大无关组与向量组的秩 133

4.2.7 有相同线性关系的向量组 134

4.2.8 极大无关组的求法 134

4.2.9 向量空间 134

4.2.10 向量空间的基和维数 134

4.2.11 施密特正交化方法 135

4.2.12 标准正交基 136

4.2.13 正交矩阵 136

4.2.14 齐次线性方程组Ax=0的解空间（A为m×n矩阵） 137

4.3 典型例题精析 137

" 4.3.1 向量α可由向量组β1,β2,…,βm线性表出 137

4.3.2 线性相关性的判定 139

4.3.3 有关线性表出与线性相关性的证明 140

4.3.4 求向量组的极大无关组与秩 143

4.3.5 有关向量组的极大无关组与秩的计算及证明 144

4.3.6 利用向量证明有关矩阵秩的问题 146

4.3.7 齐次方程组基础解系的有关求解与证明 148

4.3.8 求过渡矩阵 150

4.3.9 有关正交基 151

4.4 习题全解 153

4.5 考研试题精选 165

4.6 单元练习精练 171

4.7 单元练习精解 177

第5章 矩阵特征值问题 184

5.1 基本要求精述 184

5.2 基本内容精讲 184

5.2.1 特征值与特征向量的定义 184

5.2.2 特征值与特征向量的求法 184

5.2.3 特征值与特征向量的性质 184

5.2.4 相似矩阵的概念 185

5.2.5 相似矩阵的性质 185

5.2.6 n阶矩阵A可对角化的条件 185

5.2.7 将A对角化的方法 186

5.2.8 实对称矩阵的正交对角化 186

5.3 典型例题精析 186

5.3.1 特征值与特征向量的计算 186

5.3.2 由特征值或特征向量的概念确定矩阵中的某些元素 189

5.3.3 有关特征值与特征向量的证明 192

5.3.4 利用特征值证明矩阵的可逆性 195

5.3.5 矩阵相似与矩阵对角化条件 197

5.3.6 矩阵对角化的应用 200

5.4 习题全解 203

5.5 考研试题精选 212

5.6 单元练习精练 220

5.7 单元练习精解 223

第6章 二次型 228

6.1 基本要求精述 228

6.2 基本内容精讲 228

6.2.1 二次型及其矩阵形式 228

6.2.2 与二次型的标准形有关的概念 228

6.2.3 化二次型为标准形的方法 229

6.2.4 化二次型为规范形的方法 230

6.2.5 正定二次型和正定矩阵的概念 230

6.2.6 正定矩阵的判别方法 230

6.2.7 正定矩阵的有关结论 231

6.3 典型例题精析 231

6.3.1 实对称阵的正交对角化和用正交变换化二次型为标准形问题 231

6.3.2 用配方法化二次型为标准型 235

6.3.3 与二次型的标准形有关的问题 237

6.3.4 正定矩阵的判别与证明 240

6.3.5 利用二次型的知识解决综合问题 243

6.4 习题全解 245

6.5 考研试题精选 251

6.6 单元练习精练 255

6.7 单元练习精解 258

第7章 线性空间与线性变换 262

7.1 习题全解 262

附录1 线性代数期终试卷精选 268

附录1.1 试卷 268

附录1.2 答案及提示 279

附录2 1987年—2012年硕士生入学考试各类数学试卷中线性代数试题汇编 285

附录2.1 试卷 285

附录2.2 答案及提示 323

附录3 硕士生入学考试模拟练习卷 361

附录3.1 练习卷 361

附录3.2 答案及提示 370

参考文献 377

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