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第1章 行列式 1

1.1行列式的定义与相关概念 1

1.1.1行列式的引出 1

1.1.2逆序与互换定理 2

1.1.3正负号的决定与行列式的定义展开式 4

1.1.4利用行列式的定义计算行列式 6

1.2行列式的性质 7

1.2.1行列式的转置与取值的不变性 7

1.2.2行列式换行（列）与取值的变号性 8

1.2.3行列式的数乘与倍增性 9

1.2.4行列式的可加性 10

1.2.5行列式的数乘和运算与取值的不变性 11

1.3行列式的展开定理 17

1.3.1行列式的余子式和代数余子式 17

1.3.2行列式按行（列）展开定理 17

1.3.3行列式按子式展开定理 23

1.4克莱姆法则 24

1.4.1线性方程组及相关记号 24

1.4.2克莱姆法则 24

附录 26

习题1 28

第2章 矩阵 35

2.1矩阵的概念 35

2.1.1矩阵的定义 35

2.1.2几类特殊的矩阵 37

2.2矩阵的运算 38

2.2.1矩阵的加减运算 38

2.2.2矩阵的乘法运算 39

2.2.3矩阵的数乘运算 42

2.2.4矩阵的转置运算 43

2.2.5矩阵的幂运算 45

2.2.6方阵的行列式与迹 46

2.3矩阵的逆运算——伴随矩阵法 49

2.3.1逆矩阵的概念 49

2.3.2逆矩阵的伴随矩阵求法 49

2.4矩阵的逆运算——初等变换法 52

2.4.1初等变换与初等变换定理 52

2.4.2逆矩阵的初等变换求法 54

2.5矩阵的秩 60

2.5.1 矩阵秩的概念 60

2.5.2 矩阵秩的计算 62

2.5.3矩阵秩的常用结论 64

2.6矩阵的分块 64

2.6.1矩阵分块的示例和定义 64

2.6.2 矩阵分块的应用 66

附录 68

习题2 69

第3章 线性方程组 77

3.1线性方程组的消元解法及解存在的条件 77

3.1.1线性方程组与消元解法 77

3.1.2消元解法与矩阵实现 78

3.1.3线性方程组解存在的判定条件 79

3.2向量及其线性关系 84

3.2.1向量与矩阵的向量含义 84

3.2.2向量的线性组合 85

3.2.3向量的线性相关与线性无关 87

3.3向量组之间的关系与极大线性无关组 89

3.3.1向量组之间的线性表示 90

3.3.2向量组的极大线性无关组与秩 92

3.4线性方程组解的结构 94

3.4.1齐次线性方程组解的特点 94

3.4.2齐次线性方程组解的基础解系 94

3.4.3非齐次线性方程组解的特点 97

附录 103

习题3 104

第4章 相似矩阵与矩阵对角化 112

4.1矩阵特征值与特征向量 112

4.1.1矩阵特征值与特征向量的定义 112

4.1.2矩阵特征值与特征向量的性质 116

4.2矩阵的相似与对角化 119

4.2.1相似矩阵及其性质 119

4.2.2矩阵的对角化与条件 121

4.3实对称矩阵的对角化 126

4.3.1向量组的正交化 127

4.3.2实对称矩阵的特征值和特征向量 132

4.3.3实对称矩阵的对角化 133

附录 135

习题4 138

第5章 二次型 146

5.1二次型与线性变换 146

5.1.1二次型及其矩阵 146

5.1.2二次型的线性变换 148

5.2二次型的标准型及其求法 149

5.2.1二次型的标准型 149

5.2.2二次型的标准型的常见求法 150

5.3二次型的规范型与惯性定理 155

5.3.1二次型规范型的定义 155

5.3.2二次型规范型的惯性定理 156

5.4二次型的有定性 157

5.4.1二次型与实对称矩阵有定性的分类 157

5.4.2二次型与实对称矩阵有定性的判定 158

5.5二次型理论的两个应用 163

5.5.1二次型在优化中的应用 163

5.5.2有定性在多元函数求极值中的应用 165

附录 166

习题5 169

第6章MATLAB在线性代数中的应用 173

6.1 MATLAB的基础知识 173

6.1.1 MATLAB简介 173

6.1.2 MATLAB的启动与退出 174

6.1.3 MATLAB的界面 174

6.1.4 MATLAB的帮助系统 175

6.1.5 MATLAB的变量与表达式 176

6.1.6 MATLAB的算术运算 177

6.1.7 MATLAB的矩阵运算 178

6.1.8 MATLAB的符号表达式和符号方程的创建 180

6.1.9 MATLAB的M文件 181

6.2行列式、矩阵的运算 183

6.2.1计算行列式 183

6.2.2矩阵运算 185

6.3向量组的线性相关性与线性方程组 188

6.3.1向量组的线性相关性 188

6.3.2求向量组的极大线性无关组 188

6.3.3齐次线性方程组的求解 189

6.3.4非齐次线性方程组的求解 190

6.4特征值与特征向量 192

6.4.1求特征值与特征向量 192

6.4.2矩阵的对角化 193

6.4.3实对称矩阵的对角化 194

习题参考答案 196

参考文献 212

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