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第一章 体论 1

1 环与体 1

2 特征数及素域，由环建体 4

3 多项式环 7

4 同态 9

5 素域与实数域的自同构 12

6 线性相关与有限域 14

7 代数相关与复数域的自同构 19

8 超越扩张的自同构 22

9 四元数体 23

10 广义四元数体 26

11 体的性质 31

第二章 一维射影几何及二级线性群 37

1 射影空间及群 37

2 调和点列和一维射影几何的基本定理 41

3 射影对合 44

4 体上的二级线性群 51

5 PSL2（K）的单性 58

6 SL2（K）的自同构 63

7 GL2（K）的自同构 71

8 SL±2（K）的自同构 74

9 PSL2（K）,PGL2（K）及PSL±2（K）的自同构 75

第三章 向量空间，矩阵和行列式 81

1 矩阵的代数 81

2 向量空间 84

3 子空间的交和联 89

4 子空间的矩阵表示，矩阵的行秩 91

5 基变换，线性映射，矩阵的等价 93

6 列空间及矩阵的秩 97

7 齐次线性方程组 100

8 GLn（K）的换位子群 101

9 行列式 103

第四章 射影几何与仿射几何 111

1 几何结构 111

2 射影空间 113

3 Pln（K）中点的线性相关性 115

4 线性子空间 118

5 关于射影几何的公理化处理 122

6 线性子空间的方程及对偶原理 123

7 标准单纯形 127

8 仿射空间 128

9 仿射几何的基本定理 130

10 射影几何的基本定理 135

11 有限几何 136

第五章 长方阵几何学 139

1 长方阵几何学 139

2 方阵几何学 142

3 算术距离 145

4 长方阵仿射空间中秩为1的极大集 147

5 两个秩为1的极大集的交集 151

6 长方阵仿射空间中秩为2的极大集 153

7 长方阵仿射几何的基本定理 160

8 长方阵射影几何的基本定理 168

第六章 线性群的构造及自同构 169

1 复习 169

2 在SLn（K）之下矩阵的相似 169

3 PSLn（K）的单性 174

4 对合 178

5 SLn（K）,SL±n（K）和GLn（K）的自同构（特征数≠2） 181

6 射影对合（特征数≠2） 195

7 PGLn（K）,PSL±n（K）和PSLn（K）的自同构（特征数≠2） 203

8 对合（特征数＝2） 207

9 SLn（K）,GLn（K）,PSLn（K）和PGLn（K）的自同构（特征数＝2） 215

第七章 H-矩阵及酉群 226

1 自反矩阵及H-矩阵 226

2 H-矩阵在合同下的化简 231

3 H-矩阵在合同下的化简（续） 238

4 H-矩阵在合同下的化简（续）——Witt定理 244

5 迷向子空间 249

6 酉群 257

7 当v＝n/2时酉矩阵的形式 261

8 当0＜v＜n/2时酉矩阵的形式 265

9 酉平延及拟对称 268

10 酉群的中心及射影酉群 272

11 有限域上的酉群 275

第八章 酉群的构造（v≥1而正交群除外） 280

1 引言 280

2 TUn（K,H）的中心 282

3 PTU2（K,H）的单性（v＝1） 289

4 PTUn（K,H）的单性（v≥1） 295

5 群U'n（K,H）（n＝2v） 307

6 Un（K,H）的换位子群（n＝2v） 320

第九章 特征数≠2的域上的正交群的构造（v≥1） 329

1 复习 329

2 由2平延所演成的群 334

3 由双曲旋转的平方所演成的群 341

4 O＋n（F,S）/Ωn（F,S）的构造（n＝2v） 343

5 O＋n（F,S）/Ωn（F,S）的构造（n＞2v） 349

6 PΩn（F,S）是单群的证明 350

7 PΩn（F,S）是单群的证明（续） 358

第十章 特征数为2的域上的二次型和无亏数的正交群 370

1 二次型的合同及Witt定理的推广 370

2 奇异子空间 正则二次型的指数 378

3 正交群 381

4 On（F,G）中元素的形式 383

5 正交平延 385

6 由2平延所演成的群（与第九章2相比较） 394

7 由双曲旋转的平方所演成的群（与第九章3相比较） 397

8 On（F,G）的构造（v≥1） 398

第十一章 特征数为2的域上有亏数的正交群 399

1 群On（F,G）的一些初步性质 399

2 半奇异向量 400

3 On（F,G）中元素的形式 404

4 正交平延 406

5 由半奇异平延所演成的群 411

6 On（F,G）的单性 417

第十二章 辛群的自同构 422

1 以往结果提要 422

2 辛对合（K的特征数≠2） 423

3 Sp2v（K）的自同构（K的特征数≠2） 428

4 射影辛对合（K的特征数≠2） 436

5 射影辛对合的中心化子和PSp2v（K）的自同构（K的特征数≠2） 441

6 辛对合（K的特征数＝2） 443

7 由一对称矩阵所定义的群（K的特征数＝2） 450

8 辛对合的中心化子（K的特征数＝2） 457

9 1对合的刻画（K的特征数＝2） 462

10 Sp2m（K）的自同构（K的特征数＝2） 468

附记 486

索引 491

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