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第1章 概率论的基本概念 1

1.1 随机事件及其运算 1

1.1.1 随机试验、样本点、样本空间 1

1.1.2 事件间的关系和运算 4

1.2 事件的概率及其性质 9

1.2.1 古典概率 9

1.2.2 几何概率 14

1.2.3 概率的统计定义 17

1.2.4 概率的公理化定义 19

1.3 条件概率 22

1.3.1 条件概率与乘法公式 22

1.3.2 全概率公式和贝叶斯公式 25

1.4 事件的独立性 29

1.4.1 两个事件的独立性 29

1.4.2 两个以上事件的独立性 30

1.4.3 伯努利（Bernoulli）概型 33

习题一 34

第2章 随机变量及其分布 39

2.1 随机变量及其分布函数 39

2.1.1 随机变量的引入及定义 39

2.1.2 随机变量的分布函数及其性质 41

2.2 离散型随机变量及其分布律 43

2.2.1 离散型随机变量及其分布律 43

2.2.2 几种常见的离散型随机变量 46

2.3 连续型随机变量及其概率密度 51

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度 52

2.3.2 三种重要的连续型随机变量 54

2.4 随机变量函数的分布 61

2.4.1 离散型随机变量函数的分布 62

2.4.2 连续型随机变量函数的分布 63

习题二 67

第3章 多维随机变量及其分布 71

3.1 二维随机变量及其分布 71

3.1.1 二维随机变量及其分布函数 71

3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律 73

3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度 75

3.1.4 两个重要的二维连续型随机变量 76

3.2 边缘分布与随机变量的独立性 78

3.2.1 边缘分布函数与两个随机变量的独立性 78

3.2.2 边缘分布律与两个离散型随机变量独立的等价条件 80

3.2.3 边缘概率密度与两个连续型随机变量独立的等价条件 83

3.3 条件分布 86

3.3.1 二维离散型随机变量的条件分布律 87

3.3.2 二维连续型随机变量的条件概率密度 89

3.4 两个随机变量函数的分布 93

3.4.1 二维离散型随机变量函数的分布 94

3.4.2 二维连续型随机变量函数的分布 96

3.5 n维随机变量简介 105

3.5.1 n维随机变量及其分布函数、边缘分布函数和独立性 106

3.5.2 n维离散型随机变量及其分布律、边缘分布律和独立性的等价条件 107

3.5.3 n维连续型随机变量及其概率密度、边缘概率密度和独立性的等价条件 108

3.5.4 条件分布 109

习题三 110

第4章 随机变量的数字特征 115

4.1 数学期望 115

4.1.1 数学期望的定义 115

4.1.2 数学期望的性质 124

4.2 方差和矩 126

4.2.1 方差的定义 126

4.2.2 方差的性质 127

4.2.3 矩 131

4.3 协方差与相关系数 132

4.3.1 随机向量的数学期望 133

4.3.2 随机向量的协方差矩阵 133

4.4 特征函数 140

4.4.1 一维随机变量的特征函数 141

4.4.2 特征函数的性质 142

4.4.3 多维随机变量的特征函数 144

4.4.4 n维正态随机变量的性质 145

习题四 148

第5章 大数定律与中心极限定理 153

5.1 大数定律 153

5.1.1 问题的提出 153

5.1.2 两类收敛性 154

5.1.3 大数定律的几个常用定理 155

5.2 中心极限定理 158

5.2.1 问题的提出 158

5.2.2 中心极限定理 158

5.2.3 中心极限定理的应用举例 160

习题五 163

第6章 随机过程的概念及其统计特性 166

6.1 随机过程的概念 166

6.1.1 随机过程的概念 166

6.1.2 随机过程的分类 168

6.2 随机过程的概率分布和数字特征 169

6.2.1 随机过程的概率分布 169

6.2.2 随机过程的数字特征 170

6.2.3 二维随机过程的分布函数和数字特征 172

6.2.4 随机序列的数字特征 173

6.2.5 复随机过程 174

6.3 几类重要的随机过程 174

6.3.1 马尔可夫过程 175

6.3.2 平稳过程 175

6.3.3 高斯（正态）随机过程 177

6.3.4 独立增量过程 180

6.3.5 正交增量过程 181

6.4 布朗运动和维纳过程 181

习题六 185

第7章 平稳随机过程 187

7.1 平稳过程及其数字特征 187

7.1.1 平稳过程的概念 187

7.1.2 相关函数的性质 189

7.1.3 复平稳过程 189

7.2 联合平稳过程和互相关函数 190

7.3 随机分析 191

7.3.1 均方收敛 192

7.3.2 均方连续 193

7.3.3 均方导数 195

7.3.4 均方积分 197

7.4 平稳过程的遍历性 199

7.4.1 遍历性的定义 199

7.4.2 随机过程具有遍历性的条件 200

习题七 202

第8章 平稳过程的谱分析 204

8.1 平稳过程的功率谱密度 204

8.1.1 简单回顾 204

8.1.2 随机过程的功率谱密度 206

8.2 功率谱密度的性质 208

8.2.1 功率谱密度的性质 208

8.2.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 209

8.2.3 白噪声 212

8.2.4 复平稳过程的功率谱密度 213

8.2.5 平稳时间序列的功率谱密度 213

8.3 联合平稳过程的互谱密度 213

8.3.1 互谱密度 214

8.3.2 互谱密度的性质 214

8.4 线性系统对平稳过程的响应 216

8.4.1 线性系统 216

8.4.2 随机过程通过线性系统 217

习题八 221

第9章 马尔可夫链 226

9.1 马尔可夫链的概念及转移概率 226

9.1.1 马尔可夫链的概念 226

9.1.2 马氏链的转移概率 228

9.1.3 马氏链的有限维分布 232

9.2 马尔可夫链的状态分类 235

9.2.1 互通和闭集 235

9.2.2 状态分类 238

9.2.3 状态分类的判定法 242

9.3 状态空间的分解 247

9.3.1 状态空间的分解 247

9.3.2 不可分闭集 247

9.3.3 有限链的状态空间 250

9.3.4 不可分链的状态空间 250

9.4 平稳分布 250

9.4.1 p（n）ij的渐近性质 250

9.4.2 平稳分布 252

习题九 261

第10章 时间连续的马尔可夫链 265

10.1 马尔可夫链与转移函数 265

10.1.1 概念 265

10.1.2 转移函数的性质与有限维分布 265

10.2 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 266

10.3 连续参数马氏链的状态分类简介及例子 269

习题十 275

第11章 泊松过程 277

11.1 泊松过程 277

11.2 齐次泊松过程的发生时间和计数的条件分布 282

11.2.1 齐次泊松过程与均匀分布 282

11.2.2 齐次泊松过程与二项分布、多项分布 283

11.3 泊松过程的推广 285

11.3.1 广义齐次泊松过程 285

11.3.2 带时倚强度的泊松过程 286

11.3.3 复合泊松过程 289

11.3.4 滤过泊松过程 290

习题十一 294

附录1 本书附表 295

附录2 傅里叶变换的若干性质 300

习题答案 303

参考文献 322

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