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第一篇 一元微积分 1

第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的基本性态 3

三、反函数 4

四、初等函数 5

习题1-1 9

第二节 数列极限 10

一、数列极限的概念 10

二、收敛数列的有界性 12

习题1-2 12

第三节 函数极限 13

一、x→∞的情形 13

二、x→x0的情形 14

三、无穷小 15

四、无穷大 16

习题1-3 16

第四节 极限运算法则 17

一、无穷小的运算法则 17

二、极限四则运算法则 18

习题1-4 21

第五节 两个重要极限 22

一、极限存在准则 22

二、两个重要极限 23

三、无穷小的阶 25

习题1-5 25

第六节 函数的连续性 26

一、函数连续的概念 26

二、函数的间断点 28

习题1-6 29

第七节 初等函数的连续性 30

一、连续函数的四则运算 30

二、反函数与复合函数的连续性 30

三、初等函数的连续性 31

习题1-7 32

第八节 闭区间上连续函数的性质 33

一、最值性质 33

二、介值性质 34

习题1-8 34

第二章 导数与微分 36

第一节 导数的概念 36

一、两个实例 36

二、导数概念 37

三、求导数举例 38

四、导数的几何意义 40

五、可导与连续的关系 41

习题2-1 42

第二节 基本求导法则 42

一、四则求导法则 42

二、反函数求导法则 43

三、基本导数公式 44

习题2-2 45

第三节 初等函数的导数 46

一、复合求导法则 46

二、初等函数的导数 47

习题2-3 48

第四节 高阶导数 48

习题2-4 50

第五节 隐函数与参数求导法则 51

一、隐函数求导法则 51

二、参数求导法则 52

习题2-5 53

第六节 函数的微分 54

一、微分的概念 54

二、微分的运算法则 56

习题2-6 58

第七节 微分学中值定理 59

一、罗尔定理 59

二、拉格朗日中值定理 59

三、柯西中值定理 61

习题2-7 62

第三章 不定积分 63

第一节 不定积分的概念与性质 63

一、原函数与不定积分概念 63

二、基本积分公式 65

三、不定积分的性质 66

习题3-1 68

第二节 换元积分法 68

一、第一换元法 68

二、第二换元法 73

习题3-2 79

第三节 分部积分法 81

习题3-3 86

第四章 定积分 87

第一节 定积分的概念 87

一、两个实例 87

二、定积分的概念 89

三、定积分的几何意义 90

习题4-1 91

第二节 定积分的性质 91

习题4-2 94

第三节 微积分基本定理 95

一、变上限定积分 95

二、微积分基本定理 96

习题4-3 97

第四节 定积分的算法 98

一、定积分的换元法 98

二、定积分的分部积分法 101

习题4-4 103

第五节 广义积分 103

一、无穷限广义积分 104

二、无界函数广义积分 105

习题4-5 106

第二篇 一元微积分的应用 107

第五章 导数与微分的应用 107

第一节 未定式极限的求法 107

一、0/0及∞/∞型未定式 107

二、其他型未定式 111

习题5-1 113

第二节 函数单调性的判别法 113

习题5-2 115

第三节 函数极值的求法 115

习题5-3 118

第四节 函数最值的求法 118

习题5-4 120

第五节 曲线凹凸及拐点的判别法 121

一、曲线的凹凸性及其判别法 121

二、曲线的拐点及其求法 122

习题5-5 124

第六节 函数作图法 124

习题5-6 127

第七节 微分的应用 127

一、弧微分公式 127

二、微分在近似计算中的应用 127

习题5-7 128

第八节 导数的经济学应用 128

一、成本函数与收入函数 128

二、边际分析 129

三、弹性分析 130

习题5-8 132

第六章 定积分的应用 133

第一节 平面图形面积的求法 133

一、直角坐标情形 133

二、参数方程情形 135

三、极坐标情形 135

习题6-1 136

第二节 体积的求法 137

一、旋转体的体积 137

二、已知截面立体的体积 138

习题6-2 139

第三节 平面曲线弧长的求法 139

一、直角坐标情形 139

二、参数方程情形 140

三、极坐标情形 141

习题6-3 142

第四节 定积分的物理学应用 142

一、变力沿直线的功 142

二、液体静压力 144

习题6-4 145

第五节 定积分的经济学应用 145

一、已知边际求总量 145

二、资金流量及其现值 147

习题6-5 149

第七章 常微分方程 150

第一节 基本概念 150

习题7-1 152

第二节 一阶微分方程的解法 153

一、可分离变量的一阶微分方程 153

二、齐次方程 154

三、数学建模举例 155

习题7-2 158

第三节 一阶线性微分方程的解法 158

一、一阶齐次线性微分方程的解法 158

二、一阶非齐次线性微分方程的解法 159

三、一阶非齐次线性微分方程通解的结构 161

习题7-3 162

第四节 可降阶的高阶微分方程的解法 163

一、y（n）=f（x）型 163

二、y″=f （x，y′）型 163

三、y″=f （y,y′）型 164

习题7-4 165

第五节 二阶线性微分方程解的结构 165

一、两个数学模型 165

二、二阶线性微分方程及其解的结构 167

习题7-5 169

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 169

习题7-6 171

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 172

一、f （x）=Pm（x）eax型 172

二、f（x）=eax（A1cosβx+B1sinβx）型 174

习题7-7 175

第八章 无穷级数 176

第一节 常数项级数 176

一、级数的概念 176

二、数项级数的基本性质 178

三、正项级数及其审敛法 179

四、交错级数及其审敛法 183

五、绝对收敛与条件收敛 184

习题8-1 185

第二节 幂级数 187

一、幂级数的概念 187

二、幂级数的收敛性 187

三、幂级数的运算性质 190

习题8-2 192

第三节 函数的幂级数展开 193

一、泰勒级数 193

二、函数的幂级数展开 196

习题8-3 200

第四节 傅里叶级数 200

一、三角级数 200

二、以2π为周期的函数的傅氏级数 201

习题8-4 206

第五节 任意区间上的傅氏级数 206

一、[—π,π]上的傅氏级数 207

二、[0,π]上的傅氏级数 208

三、以2l为周期的函数的傅氏级数 210

习题8-5 212

第九章 数值计算方法 214

第一节 误差简介 214

一、误差的来源 214

二、绝对误差与相对误差 214

三、有效数字 215

习题9-1 215

第二节 方程的近似解法 215

一、根的隔离 215

二、二分法 216

三、切线法 218

习题9-2 220

第三节 定积分的近似计算 220

一、矩形法 220

二、梯形法 221

三、抛物线法 222

习题9-3 223

第四节 常微分方程的数值解法 223

一、欧拉折线法（矩形法） 224

二、改进的欧拉法（梯形法） 225

三、龙格—库塔法 226

习题9-4 228

第五节 插值函数 229

一、问题的提出 229

二、线性插值与抛物插值 230

三、拉格朗日插值公式 232

四、均差插值公式 233

习题9-5 236

附录 237

习题答案 250

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