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1　函数与极限 1

1.1　函数 1

1.1.1　集合与区间 1

1.1.2 函数的基本概念及其特性 3

1.2　初等函数 8

1.2.1　反函数 8

1.2.2　基本初等函数 8

1.2.3　复合函数 13

1.2.4　初等函数的基本概念 13

1.3　数列的极限 14

1.4　函数的极限 20

1.5　无穷小与无穷大 26

1.5.1 无穷小 26

1.5.2 无穷大 28

1.6　极限运算法则 30

1.7　极限存在准则两个重要极限 35

1.7.1 夹逼准则 35

1.7.2　单调有界准则 38

1.7.3 柯西（Cauchy）极限存在准则 41

1.8　无穷小的比较 42

1.9 函数的连续性与间断点 45

1.9.1 函数的连续性 45

1.9.2 函数的间断点 47

1.10　连续函数的运算与初等函数的连续性 49

1.10.1　连续函数的和、积及商的连续性 49

1.10.2 反函数与复合函数的连续性 50

1.10.3　初等函数的连续性 51

1.11 闭区间上连续函数的性质 53

1.11.1 最大值和最小值定理 53

1.11.2　介值定理 54

1.11.3　一致连续性 55

2　导数与微分 59

2.1　导数的概念 59

2.1.1 引例 59

2.1.2　导数的定义 60

2.1.3　导数的几何意义 63

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 64

2.2　求导法则与基本初等函数求导公式 67

2.2.1　导数的四则运算法则 67

2.2.2　反函数的求导法则 69

2.2.3　复合函数的求导法则 70

2.2.4　基本求导法则与求导公式 72

2.3　高阶导数 75

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 80

2.4.1 隐函数的导数 80

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 83

2.5　函数的微分 85

2.5.1　微分的定义 85

2.5.2　基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 88

2.5.3　微分在近似计算中的应用 90

3　中值定理与导数的应用 94

3.1　微分中值定理 94

3.1.1 罗尔定理 94

3.1.2　拉格朗日中值定理 96

3.1.3　柯西中值定理 99

3.2　洛必达法则 101

3.2.1　0/0型未定式 101

3.2.2　∞／∞型未定式 102

3.2.3　其他型未定式 104

3.3　函数单调性 106

3.4　函数的极值与最大值最小值 110

3.4.1 函数的极值及其求法 110

3.4.2　最大值、最小值问题 114

3.4.3 极值的应用问题举例 116

3.5 曲线的凹凸性与拐点 118

3.6　函数图形的描绘 121

4　不定积分 126

4.1　不定积分的概念与性质 126

4.1.1 原函数与不定积分的概念 126

4.1.2　基本积分表 128

4.1.3　不定积分的性质 129

4.2　换元积分法 132

4.2.1　第一类换元法 132

4.2.2　第二类换元法 137

4.2.3　基本积分表（续） 140

4.3　分部积分法 143

4.3.1 分部积分法——直接计算方法 143

4.3.2 分部积分法——间接计算方法 145

5　定积分及其应用 149

5.1　定积分的概念与性质 149

5.1.1 引例 149

5.1.2 定积分的定义、几何意义及可积条件 151

5.1.3　定积分的性质 152

5.2　微积分基本公式 156

5.2.1　积分上限函数及其导数 156

5.2.2　牛顿—莱布尼兹公式 157

5.3　定积分的换元法与分部积分法 161

5.3.1 定积分的换元积分法 161

5.3.2 定积分的分部积分法 163

5.4　定积分的应用 165

5.4.1 定积分的元素法 165

5.4.2　几何应用 166

5.4.3　物理应用 170

5.5　广义积分 173

5.5.1　无穷限的广义积分 173

5.5.2　被积函数具有无穷间断点的广义积分 174

6　微分方程 179

6.1　微分方程的基本概念 179

6.2　一阶微分方程 181

6.2.1 可分离变量的微分方程 181

6.2.2　一阶线性微分方程 183

6.3　可降阶的高阶微分方程 186

6.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程 186

6.3.2　y″=f（x,y′）型的微分方程 186

6.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程 187

6.4　二阶常系数线性微分方程 189

6.4.1 解的结构 189

6.4.2　二阶常系数线性齐次微分方程 189

6.4.3　二阶常系数线性非齐次微分方程 191

7　空间解析几何初步 195

7.1　空间直角坐标系 195

7.1.1 空间点的直角坐标 195

7.1.2　两点间的距离 196

7.2　向量及其线性运算 198

7.2.1 向量及其坐标表示 198

7.2.2 向量的模与方向角 199

7.2.3　向量的线性运算 200

7.3　向量的数量积和向量积 203

7.3.1 向量的数量积 203

7.3.2　向量的向量积 205

7.4　平面及其方程 207

7.4.1 平面的点法式方程 207

7.4.2　平面的一般式方程 208

7.4.3　两平面的夹角 209

7.5　空间直线及其方程 212

7.5.1 空间直线的一般方程 212

7.5.2 空间直线的点向式和参数方程 212

7.5.3 两直线的夹角 214

7.5.4　直线与平面的夹角 214

7.6　曲面及空间曲线简介 216

7.6.1 简单曲面 216

7.6.2 空间曲线 220

8　多元函数微分学 225

8.1　多元函数的概念 225

8.1.1 多元函数的基本概念 225

8.1.2　二元函数的极限 228

8.1.3　二元函数的连续性 229

8.2　偏导数 231

8.2.1　偏导数的概念 231

8.2.2　高阶偏导数 235

8.3　全微分 237

8.3.1　全微分的概念 237

8.3.2　可微分的条件 238

8.3.3　全微分在近似计算中的应用 239

8.4　多元复合函数的求导法则 241

8.4.1 全导数 241

8.4.2 多个自变量复合的情形 241

8.4.3　全微分形式不变性 245

8.5　多元隐函数的求导法则 247

8.5.1　一个方程的情形 247

8.5.2　方程组的情形 250

8.6　多元函数的极值及其求法 252

8.6.1　二元函数的极值 252

8.6.2　二元函数的最值 255

8.6.3　条件极值、拉格朗日乘数法 256

9　二重积分 262

9.1　二重积分的概念与性质 262

9.1.1　二重积分的概念 262

9.1.2　二重积分的定义 264

9.1.3　二重积分的性质 265

9.2　二重积分的计算 268

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 269

9.2.2　利用极坐标计算二重积分 274

10　无穷级数 282

10.1　常数项级数的概念和性质 282

10.1.1　常数项级数的概念 282

10.1.2　收敛级数的基本性质 285

10.2　常数项级数的审敛法 289

10.2.1 正项级数及其审敛法 289

10.2.2 交错级数及其审敛法 296

10.2.3　绝对收敛与条件收敛 297

10.3　幂级数 300

10.3.1　函数项级数的概念 300

10.3.2　幂级数及其收敛性 301

10.3.3　幂级数的运算 305

10.4　泰勒公式与泰勒级数 308

10.4.1　泰勒公式 308

10.4.2　泰勒级数 310

10.4.3　函数展开成幂级数 312

参考答案 319

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