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第1章 预备知识 1

1.1 集合、绝对值、区间 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 绝对值 2

1.1.3 区间 2

习题1.1 3

1.2 映射与函数、反函数 3

1.2.1 映射 3

1.2.2 函数 4

1.2.3 反函数 6

习题1.2 7

1.3 初等函数 7

1.3.1 复合函数 7

1.3.2 初等函数 8

1.3.3 有界函数与无界函数 9

1.3.4 单调函数 9

1.3.5 奇函数、偶函数 9

习题1.3 10

第2章 极限与连续 11

2.1 数列的极限、函数的极限 11

2.1.1 数列的极限 11

2.1.2 函数的极限 12

习题2.1 15

2.2 无穷小量与无穷大量，无穷小量的运算 16

2.2.1 负无穷大量 16

2.2.2 正无穷大量 16

2.2.3 无穷大量 17

2.2.4 x→－∞，x→＋∞，x → ∞情况下负无穷大、正无穷大、无穷大定义 17

2.2.5 无穷小量 19

习题2.2 20

2.3 极限运算法则 21

2.3.1 极限的运算法则 21

2.3.2 多项式函数的极限 21

2.3.3 有理分式函数的极限 22

习题2.3 23

2.4 两个重要极限 24

2.4.1 理论准备 24

2.4.2 重要极限（1） 26

2.4.3 重要极限（2） 27

习题2.4 29

2.5 无穷小量的比较 30

2.5.1 问题的提出 30

2.5.2 无穷小的阶 30

习题2.5 33

2.6 函数的连续性 34

2.6.1 连续函数的概念 34

2.6.2 若干理论问题 35

2.6.3 闭区间上连续函数的性质 37

习题2.6 38

2.7 函数的间断点及其分类 39

2.7.1 间断点的定义及其分类方法 39

2.7.2 由指数函数图像得到的信息、引入的记号 40

2.7.3 由反正切函数图像得到的信息、引入的记号 41

习题2.7 42

第3章 导数与微分 43

3.1 导数的概念 43

3.1.1 瞬时速度的定义及其算法 43

3.1.2 平面曲线切线的斜率 44

3.1.3 导数的定义 44

3.1.4 求导数举例 45

习题3.1 47

3.2 函数的微分法 47

3.2.1 导数的四则运算 47

3.2.2 可导与连续的关系 49

3.2.3 复合函数的微分法 50

3.2.4 反函数求导法则 51

习题3.2 53

3.3 微分 54

3.3.1 微分概念 54

3.3.2 微分基本公式及其运算法则 56

习题3.3 57

3.4 隐函数微分法、参数方程微分法 58

3.4.1 隐函数的微分法 58

3.4.2 由参数方程所确定的函数的微分法 59

3.4.3 对数微分法 60

习题3.4 61

3.5 高阶导数 62

3.5.1 高阶导数的定义、记号 62

3.5.2 求由参数方程确定的函数的二阶导数举例 63

习题3.5 64

第4章 导数的应用 65

4.1 函数的单调性、极值 65

4.1.1 中值定理 65

4.1.2 函数单调性判定定理 66

4.1.3 函数的极值及其求法 67

习题4.1 68

4.2 函数的最大值、最小值、凸凹性、拐点 69

4.2.1 闭区间上连续函数最大值、最小值求法 69

4.2.2 函数的凸凹性、拐点 69

4.2.3 绘制函数图像 71

习题4.2 72

4.3 未定型的极限 72

4.3.1 “0/0”型未定型 72

4.3.2 “∞/∞”型未定型 74

4.3.3 其他类型未定型举例 75

习题4.3 75

4.4 导数在经济分析中的应用 76

4.4.1 常用的经济函数 76

4.4.2 边际分析 77

第5章 不定积分 80

5.1 原函数与不定积分 80

5.1.1 原函数 80

5.1.2 不定积分 80

5.1.3 典型题解 81

习题5.1 83

5.2 凑微分法（第一换元法） 83

5.2.1 凑微分法 83

5.2.2 凑微分法的典型题解 84

习题5.2 86

5.3 变量置换法（第二换元法） 88

5.3.1 变量置换法 88

5.3.2 三角置换 89

5.3.3 一般置换 91

习题5.3 91

5.4 分部积分法 92

5.4.1 分部积分法的定义 92

5.4.2 使用分部积分法处理的不定积分类型 92

习题5.4 95

第6章 定积分 96

6.1 定积分的概念 96

6.1.1 曲边梯形的面积 96

6.1.2 变速直线运动的路程 97

6.1.3 定积分定义 98

习题6.1 99

6.2 定积分的性质 100

习题6.2 102

6.3 定积分的基本公式 102

6.3.1 积分上限函数 102

6.3.2 定积分基本公式 104

习题6.3 106

6.4 变量置换法与分部积分法 106

6.4.1 定积分变量置换法 106

6.4.2 定积分的分部积分法 107

习题6.4 110

6.5 广义积分 110

6.5.1 无穷区间的广义积分 110

6.5.2 无界函数的广义积分 111

习题6.5 112

第7章 定积分的应用 113

7.1 定积分的几何应用 113

7.1.1 定积分的微元法 113

7.1.2 直角坐标系中的平面图形的面积 113

7.1.3 极坐标系中的平面图形的面积 116

7.1.4 旋转体的体积 118

7.1.5 平面曲线的弧长 120

习题7.1 123

7.2 定积分的物理应用 124

7.2.1 变力作功 124

7.2.2 液体的静压力 125

7.2.3 平均值和均方根 126

习题7.2 127

7.3 定积分在经济中的应用 127

第8章 二元函数的微分法 129

8.1 二元函数 129

8.1.1 二元函数的概念 129

8.1.2 二元函数的极限 130

8.1.3 二元函数的连续性 130

习题8.1 131

8.2 偏导数 131

8.2.1 偏导数的定义 131

8.2.2 高阶偏导数 132

习题8.2 133

8.3 全微分 133

8.3.1 全微分的概念 133

8.3.2 全微分在近似计算中的应用 134

习题8.3 135

8.4 二元函数的极值和最值 135

8.4.1 二元函数的极值 135

8.4.2 二元函数的最值 137

习题8.4 137

第9章 二重积分 138

9.1 二重积分的概念与性质 138

9.1.1 二重积分的定义 138

9.1.2 二重积分的几何意义 139

9.1.3 二重积分的性质 139

9.2 二重积分的计算 140

9.2.1 直角坐标系中二重积分的计算 140

9.2.2 极坐标系中二重积分的计算 142

习题9.2 143

第10章 常微分方程 144

10.1 常微分方程的基本概念 144

10.1.1 常微分方程概述 144

10.1.2 常微分方程的解、通解、特解 145

10.1.3 建立微分方程举例 146

习题10.1 146

10.2 一阶微分方程 146

10.2.1 可分离变量型微分方程 146

10.2.2 齐次方程 149

习题10.2 150

10.3 一阶线性微分方程 150

10.3.1 一阶线性微分方程的定义和解法 150

10.3.2 一阶线性非齐次方程的解法 151

习题10.3 153

10.4 可降阶的高阶微分方程 153

10.4.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 153

10.4.2 y″＝f（x，y′）型的二阶微分方程 154

10.4.3 y″＝f（y，y′）型二阶微分方程 155

习题10.4 156

10.5 二阶线性微分方程 156

10.5.1 基本概念 156

10.5.2 二阶线性微分方程通解定理 157

10.5.3 二阶线性常系数齐次微分方程 158

10.5.4 二阶线性常系数齐次微分方程通解定理 159

习题10.5 160

第11章 级数 161

11.1 常数项级数的概念及其性质 161

11.1.1 常数项级数的概念 161

11.1.2 级数敛散性的主要结论和基本性质 163

习题11.1 167

11.2 正项级数 168

11.2.1 正项级数、p－级数 168

11.2.2 正项级数敛散性判别方法 168

11.2.3 正项级数敛散性的达朗贝尔判别法 171

习题11.2 171

11.3 任意项级数 172

11.3.1 绝对收敛与条件收敛 172

11.3.2 交错级数 173

习题11.3 175

11.4 函数项级数 176

习题11.4 178

11.5 幂级数 178

11.5.1 幂级数及其收敛域 178

11.5.2 幂级数的主要性质 181

11.5.3 求幂级数的和函数举例 182

习题11.5 184

11.6 函数展开为幂级数 185

11.6.1 Taylor（泰勒）级数、Maclaurin（马克劳林）级数 185

11.6.2 函数展开成Maclaurin级数举例 186

11.6.3 间接展开法 187

习题11.6 189

第12章 概率论的基本概念 190

12.1 随机试验 190

12.1.1 确定性现象、随机现象 190

12.1.2 随机试验概述 190

12.2 样本空间、随机事件 191

12.2.1 样本空间 191

12.2.2 随机事件 191

12.2.3 事件间的关系与事件的运算 192

12.3 频率与概率 193

12.3.1 频率 193

12.3.2 概率 195

习题12.3 197

12.4 古典概型 197

12.4.1 古典概型概述 197

12.4.2 典型题解答 198

习题12.4 202

12.5 条件概率和乘法定理 203

12.5.1 条件概率 203

12.5.2 乘法定理 204

习题12.5 206

12.6 全概率公式和贝叶斯公式 206

12.6.1 样本空间的划分 206

12.6.2 全概率公式 206

12.6.3 贝叶斯公式 207

习题12.6 210

12.7 独立性 211

12.7.1 基本概念 211

12.7.2 典型题解答 212

习题12.7 214

12.8 随机变量 215

12.8.1 基本概念 215

12.8.2 四点说明 216

12.9 离散型随机变量及其分布律 216

12.9.1 离散型随机变量及其分布律的定义 216

12.9.2 三个重要的分布律 217

习题12.9 220

12.10 随机变量的分布函数 221

12.10.1 分布函数 221

12.10.2 求分布函数举例 222

习题12.10 224

12.11 连续型随机变量及其概率密度 224

12.11.1 基本概念 224

12.11.2 均匀分布 227

12.11.3 指数分布 229

习题12.11 230

12.12 正态分布 230

习题12.12 236

12.13 随机变量的函数的分布 237

习题12.13 240

第13章 线性代数 242

13.1 行列式 242

13.1.1 二阶、三阶行列式 242

13.1.2 n阶行列式 244

13.1.3 几种特殊的行列式 245

习题13.1 245

13.2 行列式的性质和计算 245

13.2.1 行列式的性质 246

13.2.2 行列式的计算 247

习题13.2 248

13.3 克拉默法则 248

13.3.1 克拉默法则的内容 248

13.3.2 运用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 249

习题13.3 250

13.4 矩阵 250

13.4.1 矩阵的概念 250

13.4.2 几种特殊类型的矩阵 251

13.5 矩阵的运算 251

13.5.1 矩阵的加法 252

13.5.2 数与矩阵的乘法（数乘） 252

13.5.3 矩阵的乘法 252

13.5.4 矩阵的转置 254

13.5.5 方阵的行列式 254

习题13.5 255

13.6 逆矩阵 256

13.6.1 逆矩阵的概念 256

13.6.2 逆矩阵的性质 256

13.6.3 逆矩阵的求法 256

习题13.6 257

13.7 矩阵的初等变换和矩阵的秩 258

13.7.1 矩阵的初等行变换 258

13.7.2 阶梯形矩阵 258

13.7.3 矩阵的秩 259

习题13.7 260

13.8 线性方程组 260

13.8.1 线性方程组的有关概念 261

13.8.2 n元线性方程组的求解 261

习题13.8 263

13.9 线性方程组的相容性定理 263

习题13.9 264

13.10 n维向量及其相关性 265

13.10.1 n维向量的概念 265

13.10.2 n维向量间的线性关系 265

13.10.3 线性相关性的判别 266

习题13.10 267

附录 268

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