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第8章　多元函数微分学及其应用 1

8.1　多元函数的基本概念 1

8.1.1 区域 1

8.1.2　多元函数的概念 2

8.1.3　多元函数的极限 4

8.1.4　多元函数的连续性 5

8.1.5　有界闭区域上连续函数的性质 6

习题8.1 6

8.2　偏导数 7

8.2.1　偏导数的概念与计算 7

8.2.2　高阶偏导数 9

习题8.2 11

8.3　全微分及其应用 12

8.3.1　全微分的概念 12

8.3.2　可微的必要条件与充分条件 13

8.3.3 全微分在近似计算中的应用 14

习题8.3 16

8.4　多元复合函数的微分法 17

8.4.1　复合函数偏导数的求法 17

8.4.2　全微分形式的不变性 19

8.4.3　变量替换 20

习题8.4 23

8.5　隐函数存在定理与隐函数的微分法 24

8.5.1　一个方程的情形 24

8.5.2　方程组的情形 25

习题8.5 27

8.6　方向导数与梯度 28

8.6.1　方向导数 28

8.6.2　梯度 30

习题8.6 31

8.7　空间曲线的切线与曲面的切平面 32

8.7.1 空间曲线的切线与法平面 32

8.7.2 曲面的切平面与法线 33

习题8.7 34

8.8　多元函数的极值及其应用 35

8.8.1　极值的必要条件与充分条件 35

8.8.2　多元函数最值问题应用举例 36

8.8.3　条件极值，拉格朗日乘子法 37

习题8.8 41

8.9 二元函数的泰勒公式 42

习题8.9 44

8.10 最小二乘法 44

习题8.10 46

8.11 自测题 46

第9章　多元函数的积分及其应用 48

9.1　多元函数黎曼积分的概念与性质 48

9.1.1　二个实例 48

9.1.2　多元函数黎曼积分的概念 49

9.1.3　多元函数黎曼积分的存在性定理与性质 50

9.1.4　多元函数黎曼积分的简化性质 51

习题9.1 53

9.2　二重积分在直角坐标系下的计算 54

习题9.2 57

9.3　二重积分的变量替换、曲面面积的计算 59

9.3.1　在极坐标系下计算二重积分 59

9.3.2　二重积分的一般变量替换 61

9.3.3　曲面面积的计算 62

习题9.3 64

9.4　三重积分的计算 66

9.4.1　三重积分在直角坐标系下的计算 66

9.4.2　在柱坐标系下计算三重积分 68

9.4.3　在球坐标系下计算三重积分 70

9.4.4　三重积分的一般变量替换 72

习题9.4 72

9.5　第一型曲线积分与曲面积分的计算 74

9.5.1　第一型曲线积分的计算 74

9.5.2　第一型曲面积分的计算 76

习题9.5 78

9.6　多元函数黎曼积分的物理应用 79

9.6.1　物体的质心与转动惯量公式 79

9.6.2　物体对质点引力的计算 82

习题9.6 83

9.7 自测题 83

第10章　第二型曲线积分、曲面积分与场论 86

10.1　第二型曲线积分的概念与计算 86

10.1.1　第二型曲线积分的概念与性质 86

10.1.2　第二型曲线积分的坐标形式 88

10.1.3　第二型曲线积分的计算 88

习题10.1 91

10.2　格林公式及其应用 92

10.2.1　格林公式 92

10.2.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 95

习题10.2 99

10.3　第二型曲面积分的概念与计算 100

10.3.1　第二型曲面积分的概念与性质 101

10.3.2　第二型曲面积分的坐标形式及其计算公式 103

习题10.3 105

10.4　高斯公式，斯托克斯公式 107

10.4.1　高斯公式 107

10.4.2　斯托克斯公式 110

习题10.4 113

10.5 场论 114

10.5.1　数量场的梯度场与哈密顿算子 114

10.5.2　散度 115

10.5.3　旋度 117

10.5.4　保守场 117

习题10.5 119

10.6 自测题 119

第11章　级数 122

11.1　级数的概念及其性质 122

11.1.1　级数的概念 122

11.1.2　收敛级数的基本性质 124

习题11.1 125

11.2　正项级数的收敛判别法 126

11.2.1 比较判别法 126

11.2.2　积分判别法 128

习题11.2 129

11.3　一般项级数 130

11.3.1　交错级数 130

11.3.2　绝对收敛及其判别法 130

11.3.3 绝对收敛级数的性质 133

习题11.3 134

11.4　幂级数 135

11.4.1 函数项级数的概念 135

11.4.2　幂级数及其收敛半径 135

11.4.3　幂级数的运算及其和函数的性质 137

习题11.4 139

11.5　泰勒级数 140

11.5.1　泰勒级数的概念 140

11.5.2 函数的幂级数展开举例 142

11.5.3　幂级数在近似计算中的应用 145

11.5.4　复数项级数、欧拉公式 148

习题11.5 149

11.6　傅里叶级数 149

11.6.1　傅里叶系数与傅里叶级数 150

11.6.2　傅里叶级数的收敛定理 151

11.6.3 函数在［0,l］上展开为正弦级数或余弦级数 154

11.6.4 傅里叶级数的复数形式 155

习题11.6 156

11.7 自测题 157

第12章　微分方程 159

12.1　齐次方程 159

12.1.1　齐次方程的定义与解法 159

12.1.2 可化为齐次的方程 161

习题12.1 163

12.2　一阶线性微分方程 163

12.2.1　一阶线性微分方程的解法 163

12.2.2　伯努利方程 166

习题12.2 167

12.3　全微分方程 167

12.3.1　全微分方程的概念与解法 167

12.3.2　积分因子 169

习题12.3 170

12.4　一阶隐式方程与可降阶的二阶方程 171

12.4.1　可解出y′的一阶隐式方程 171

12.4.2　可降阶的二阶微分方程 172

习题12.4 173

12.5　二阶线性微分方程解的结构与常系数齐次线性微分方程的解法 174

12.5.1　二阶线性微分方程解的结构 174

12.5.2　二阶常系数齐次线性方程的解法 176

12.5.3　高阶常系数齐次线性方程的解法 177

习题12.5 178

12.6 用待定系数法求非齐次线性方程的特解，用常数变易法解二阶线性方程 179

12.6.1　用待定系数法求特解 179

12.6.2 用常数变易法解二阶线性方程 181

习题12.6 183

12.7　欧拉方程、二阶线性方程应用举例 184

12.7.1　欧拉方程 184

12.7.2　应用举例 185

习题12.7 188

12.8　微分方程的幂级数解法举例 189

习题12.8 191

12.9　常系数线性微分方程组解法举例 191

习题12.9 194

12.10 自测题 195

习题答案 197

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