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第一部分 Hilbert 空间及算子的意义 1

第一章 Hilbert 空间的意义 1

1 Hilbert 空间的定义 1

2 Hilbert 空间的例子 L2(α，β) 4

3 Hilbert 空间的例子 A2(G) 7

第二章 Hilbert 空间的推广 10

4 线性算子、连续性 10

5 Banach 空间 13

6 单直空间的完备化 16

7 准？直空间 19

第三章 射影 22

8 直交补空间 22

9 射影分解 24

10 射影算子间的关系 27

第四章 直和及无序和 31

11 Hilbert 空间的直和 31

12 无序和 34

13 无限个 Hilbert 空间的直和 37

第五章 Riesz 定理及应用 42

14 Riesz 定理(又叫 Fr＇echet-Riesz 定理) 42

15 Lebesgue-Nikodym 定理的证明 47

16 再生核 51

17 Bergmann 的核函数 56

第六章 单直基 60

18 单直基的意义 Gram-Schmidt 操作 60

19 Fourier 展开 62

20 维数 65

21 核函数再生核之具体表现—单直基之应用 68

第七章 收敛及算子 72

22 Gelfand 定理及共鸣定理 72

23 强收敛和弱收敛 74

24 算子的均匀收敛和收敛 76

第八章 闭性与同伴 79

25 同伴算子 79

26 闭算子 80

27 对称性和自伴性 83

第九章 测度与积分的复习 88

28 备忘：积分论的一些事实 88

29 备忘：测度的集合 95

30 Helly 的选出定理 98

31 Herglotz 定理 101

第十章 矢值及算子值测度 108

32 射影值及直交矢值测度 108

33 一般算子值及矢值测度 112

34 一般积分的性质 119

35 无栏函数之积分 124

第二部分 值谱分解 134

第十一章 值谱分解绪论 134

36 长期平均(遍历性)定理 134

37 Bochner 定理 138

38 Fourier 变换 142

39 Fourier 变换的值谱分解 145

40 单直算子值谱分解 147

41 J.Von Neumann 的值谱分解定理 152

第十二章 值谱分解，自伴算子 152

42 固有值谱 160

43 例：乘法算子及算子 q·p 之值谱分解 167

44 完全连续算子 171

45 自伴性之判认 175

46 正定算子的性质 181

第十三章 正规算子的值谱分解 189

47 密在闭算子的标准写法 189

48 正规算子的值谱分解 193

49 Hilbert 空间的完全连续算子，Sch-midt 算子 200

50 可跡算子 203

第十四章 正规算子底正规函数 209

51 算子的函数关联与可换性 209

52 同时值谱分解定理 212

53 单纯值谱算子 214

54 空间的直积分与正规算子的表现 216

55 闭对称算子之缺陷 222

第十五章 Neumark 的理论 222

56 例：算子？ 225

57 Neumark 的延拓 232

58 Neumark 定理：广义的单么分解 235

第三部分 应用及补充 239

第十六章 Hilbert 张量积 239

59 张量积 239

60 对称性、Crassmann ？ 244

第十七章 吉田理论 251

61 一参数半群 251

62 半群底母算子 255

63 母算子底例 260

64 由母算子定半群及母算子的刻划 265

65 Trotter-Kato 的加法公式 271

第十八章 一些机率分布 277

66 Bochner-khinchin 定理 Stone 定理 277

67 常态分布 281

68 Hermite 多项式 283

69 调和振子 289

70 Poisson 变数的函数：Charlier 变数 294

第十九章 过程论 298

71 Hilbert 空间与仿机率空间 298

72 直交矢值测度与彷公平赌程 305

73 Wiener 过程 307

74 附录 Levy 过程 311

75 仿平稳过程 317

第二十章 廻旋 317

76 相关函数的意义 320

77 对拟平稳过程的线性运算(或？滤过) 322

78 自回归叙列 327

79 ARMA 叙列 331

80 Wold 分解 332

81 预测 336

82 常态平稳过程 348

83 抽象的 Ito 积分 352

84 多重 Wiener 积分 357

85 仿平稳增量过程 363

86 仿 Markov 过程及 Langevin 方程 367

第二十一章 保测性和遍历性 371

87 保测变换 371

88 测度的可？性和遍历性 373

89 长期平均定理 376

90 平稳定常过程的遍历性 378

91 Wigner 定理 381

第二十二章 在量子力学的应用 381

92 量子力学的公理化 384

93 Feynman 积分 389

94 Hamilton 算子自伴性的认定 394

95 正准交换关系 399

96 Fock 表现 406

第二十三章 荷布空间 411

97 核式列直空间，极限空间 411

98 荷布空间 D，Wk 与 Hk 414

99 环体 TN 上的荷布 418

100 空间 S 423

101 Sobolev 补题 427

102 Garding 不等式 431

103 Friedrichs 定理 436

第二十四章 Hilbert 空间上的测度 442

104 拟不变测度 442

105 正定号连续函数 448

106 Kakutani 内积 455

107 Gauss 测度 460

108 再论 C.C.R 467

附录 472

附1 一个 Mini 一课程的大纲 472

附2 可换的重度论 479

注解 译词及符号 488

书目和建议 490

索引 493

跋 494

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