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绪论 1

0.1.1有限维空间矩阵运算的特征值 2

0.1.2无穷维空间函数按坐标分解 4

0.1.3 Sturm-Liouville微分算子按特征分解 6

0.1.4无穷维空间线性算子的谱分解 8

第一章 赋范空间和有界线性算子 11

1.1 Banach空间和Hilbert空间 11

1.1.1赋范空间和Banach空间 11

1.1.2内积空间和Hilbert空间 14

1.1.3正交集和正交基 17

习题1.1 19

1.2连续线性算子 22

1.2.1连续线性算子和它的范数 22

1.2.2赋范线性空间B（X，Y） 25

1.2.3逆算子和有界的逆算子 28

习题1.2 30

1.3共轭算子 32

1.3.1 Banach空间上的共轭算子 32

1.3.2 Riesz定理和Lax-Milgram定理 33

1.3.3 Hilbert空间上的共轭算子 37

1.3.4共轭算子的例 39

习题1.3 40

1.4投影算子 42

1.4.1互补的线性子空间和投影算子 42

1.4.2连续的投影算子 43

1.4.3不变子空间和约化子空间 45

习题1.4 47

1.5正常算子和自共轭算子 49

1.5.1正常算子和自共轭算子的定义、例 49

1.5.2自共轭算子的性质 50

1.5.3正常算子的性质 52

1.5.4非负的和正的算子 54

1.5.5自共轭线性算子的平方根 57

习题1.5 59

1.6紧算子 61

1.6.1紧的线性算子的定义和例 61

1.6.2紧线性算子的性质 64

1.6.3弱列紧 66

1.6.4紧算子的有穷秩逼近 67

习题1.6 69

第二章 有界线性算子的谱 72

2.1谱集和正则点集 72

2.1.1线性算子正则点和谱点的定义 72

2.1.2线性算子谱的例 75

习题2.1 81

2.2谱集的基本性质 82

2.2.1有界线性算子的谱 82

2.2.2 近似点谱 86

2.2.3有界线性算子的谱半径 87

习题2.2 90

2.3线性算子的几何分析 92

2.3.1单位分解和投影算子的加权和 93

2.3.2投影算子加权和的性质 95

2.3.3投影算子加权和的谱 96

习题2.3 99

2.4紧线性算子的谱 101

2.4.1紧线性算子的特征值 101

2.4.2紧算子的谱集 102

2.4.3例 105

习题2.4 106

2.5紧线性算子的结构 107

2.5.1紧线性算子的指标 107

2.5.2紧线性算子的谱分解 110

2.5.3 Riesz-Schauder定理 112

习题2.5 114

2.6正常算子和自共轭算子的谱 115

2.6.1正常线性算子的谱 115

2.6.2有界自共轭算子的谱 116

2.6.3紧的正常算子的谱分解 119

2.6.4极大极小原理 121

2.6.5笛卡儿分解 122

习题2.6 124

2.7有界自共轭算子的谱分解 126

2.7.1谱族 126

2.7.2谱积分 129

2.7.3谱族与线性算子的谱 132

习题2.7 135

2.8自共轭算子的演算和它的谱分解 137

2.8.1算子演算和谱积分 137

2.8.2酉算子 138

习题2.8 140

第三章 无界线性算子 143

3.1闭的和可闭的线性算子 143

3.1.1线性算子的图和图模 143

3.1.2闭线性算子的例 146

3.1.3可闭的线性算子 147

习题3.1 149

3.2共轭算子 149

3.2.1无界线性算子的共轭算子 149

3.2.2二次共轭算子 151

习题3.2 154

3.3对称算子和自共轭算子 155

3.3.1对称算子 155

3.3.2自共轭的线性算子 156

习题3.3 159

3.4对称算子的结构和亏指数 160

3.4.1对称算子的值域和零空间 160

3.4.2共轭算子定义域的结构 162

3.4.3对称线性算子的亏指数 164

习题3.4 166

3.5 Cayley变换和对称算子的自共轭扩张 167

3.5.1 Cayley变换 167

3.5.2对称算子的对称扩张 170

习题3.5 172

第四章 无界线性算子的谱算子 174

4.1无界线性算子谱的定义和例 174

4.1.1无界线性算子谱的定义 174

4.1.2谱分析的例子 175

习题4.1 181

4.2无界线性算子谱的分布 182

4.2.1无界线性算子谱集的性质 182

4.2.2线性算子的数值域 183

4.2.3线性算子的正则型域 186

4.2.4无界自共轭算子谱集的性质 187

4.2.5 自共轭算子的谱集非空 189

习题4.2 190

4.3自共轭算子的谱分解 191

4.3.1自共轭算子的谱族 191

4.3.2谱积分 192

4.3.3自共轭线性算子的谱分解 196

习题4.3 197

4.4正常算子的谱分解 198

4.4.1正常算子和它的谱族 198

4.4.2有界正常算子的谱分解 202

习题4.4 204

4.5线性算子的本质谱 206

4.5.1本质谱的定义和性质 206

4.5.2本质谱在紧摄动下的不变性 209

4.5.3本质谱核 210

习题4.5 211

第五章 线性常微分算子 213

5.1一阶微分算子和它的共轭算子 213

5.1.1有限区间上定义的一阶微分算子 213

5.1.2无穷区间上定义的一阶微分算子 217

5.2 Sturm-Liouville算子 219

5.2.1 Sturm-Liouville算子和它的预解算子 219

5.2.2 Sturm-Liouville算子的谱 222

5.3高阶微分算子 224

5.3.1最大最小算子和亏指数 224

5.3.2具有紧预解算子的微分算子 227

5.4极限点型和极限圆型微分算子的自共轭域 228

5.4.1有限区间上定义的微分算子的自共轭域 228

5.4.2无穷区间上定义的微分算子的自共轭域 229

5.5具有中间亏指数奇型微分算子的自共轭扩张 231

5.5.1亏指数的取值范围 231

5.5.2最大算子域的分离性刻画 232

5.5.3微分算子自共轭域的完全刻画 237

5.6微分算子的辛结构 242

5.6.1辛空间 242

5.6.2高阶奇型微分算子自共轭域的辛几何刻画 245

5.6.3对称微分算子耗散扩张的辛几何刻画 250

第六章 常微分算子的谱分析 255

6.1数学物理中的微分算子和Schrodinger算子 255

6.2自共轭微分算子的谱 257

6.2.1 A0的共轭算子 257

6.2.2常系数自共轭微分算子及其相关摄动下的本质谱 258

6.2.3常系数自共轭Euler微分算子及其相关摄动下的本质谱 274

6.3自共轭微分算子谱的离散性 282

6.3.1一般类型微分算子谱的离散性 282

6.3.2 Euler微分算子谱是离散的充分必要条件 288

6.4 J自共轭微分算子的本质谱 290

6.4.1 J自共轭微分算子的定义 290

6.4.2常系数J对称微分算子及其相关摄动的本质谱 291

6.4.3常系数J自共轭Euler微分算子及其相关摄动的本质谱 295

6.4.4具有可积系数的二阶J对称微分算子的本质谱 296

6.5 J自共轭微分算子谱的离散性 300

6.5.1高阶J自共轭微分算子谱离散的充分条件 300

6.5.2一项高阶自共轭微分算子谱是离散的充分条件 306

参考文献 309

索引 312

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