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一、函数的概念 1

1．怎样理解函数的定义？ 1

2．如何确定函数的定义域？ 2

3．确定一个函数的基本要素是什么？ 3

4．任何周期函数都有最小周期吗？ 4

5．任何两个奇函数的乘积仍是奇函数吗？ 5

6．函数y=f（x）满足什么条件时，它的反函数与它自己相同？ 5

7．任何两个函数都可以复合成复合函数吗？ 7

8．初等函数与非初等函数有什么区别？ 7

9．在初等函数中，代数函数和超越函数有什么区别？ 8

二、数列的极限及函数的极限 9

10．如何理解数列的概念？ 9

11．怎样理解数列极限的分析定义？ 9

12．怎样理解函数极限的分析定义？ 10

13．函数极限与数列极限有什么联系？ 12

14．怎样理解无穷小量和无穷大量的概念？ 13

15．设对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使当n＞N时，xn＜ε都成立，那末当n→∞时，xn一定是无穷小量吗？ 14

16．设对任意给定的正数ε，数列xn中有无限项满足| xn | ＜ε，那末当n→∞时，xn一定是无穷小量吗？ 15

17．收敛的数列一定是无穷小量吗？发散的数列一定是无穷大量吗？ 15

18．有界的数列一定是无穷小量吗？无界的数列一定是无穷大量吗？ 16

19．有界的数列一定收敛吗？无界的数列一定发散吗？ 18

20．单调的数列一定收敛吗？收敛的数列一定单调吗？ 18

21．单调有界数列一定收敛的理论根据在哪里？ 20

22．lim xn=a与lim|xn|=|a|两者能同时成立吗？ 20

23．无穷个无穷小量的和一定是无穷小量吗？ 21

24．无穷个无穷小量的积一定是无穷小量吗？ 22

25． 两个非无穷小量的和或积一定不是无穷小量吗？ 23

26．两个无穷小量的商仍为无穷小量吗？ 24

27．两个无穷大量的和仍为无穷大量吗？ 24

28．两个非无穷大量的积一定不是无穷大量吗？ 25

29．无穷小量与无穷大量的积仍为无穷小量吗？ 25

30．两个无穷大量的商仍为无穷大量吗？ 26

31．使用极限运算法则时应注意哪些事项 27

32．两个极限??=1和lim（1+?）x=e有什么重要性？ 28

33．？（1+？）n的极限值e为什么是无理数2.718281？ 29

34．如何理解无穷小量的高阶、低阶、同阶的概念？ 31

35．任何两个无穷小量都可以比较吗？ 32

36．在求两个无穷小量的比的极限时，为什么可以把它们用各自的等价无穷小量代替？ 32

37．如何理解无穷小量的主部的概念？ 34

三、函数的连续性 36

38．函数f（x）在点x0连续的定义有哪几种形式？ 36

39．怎样判断函数在给定点处是连续的还是不连续的？ 36

40．你能举出在每个无理点处都连续，而在每个有理点处都不连续的函数吗？ 37

41．如果对任意正数ε，函数f（x）在〔a+ε，b-ε〕上都连续，那末f（x）在（a，b）内一定连续吗？f（x）在〔a，b〕上一定连续吗？ 38

42．开区间内的连续函数，在这开区间内一定有最大值和最小值吗？ 39

43．如果f（x）在开区间（a，b）内连续，且f（a）与f（b）异号，那末在（a，b）内一定有方程f（x）=0的根吗？ 40

44．函数在区间的一致连续性与连续性有什么区别？有什么联系？ 40

45．开区间内的连续函数在这区间内一定一致连续吗？ 41

46．如果f（x）在（a，b）内连续，f（a+0）及f（b-0）都存在且有限，那末f（x）在（a，b）内一定一致连续吗？ 42

47．闭区间上连续函数的一些基本性质的理论根据在哪里？ 42

48．设f（x）和g（x）在点x0处都不连续，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不连续吗？ 43

49．设f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处不连续，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不连续吗？ 43

50．设f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处不连续，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不连续吗？ 44

51．设f（x）和g（x）在点x0处都不连续，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不连续吗？ 44

52．不连续函数平方后仍为不连续函数吗？ 45

53．设g（x）在点x0处不连续，g（x0）=u0，而f（u）在点u0处连续，那末复合函数f〔g（x）〕在点x0处一定不连续吗？ 45

54．设g（x）在点x0处不连续，g（x0）=u0，f（u）在点u0处不连续，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不连续吗？ 46

55．设？g（x）=u0，并且极限？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=? f（u）一定成立吗？ 47

56．如果？g（x）=u0，且在点x0的领域内，g（x≠u0；）而且？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=？f（u）一定成立吗？ 48

57．设g（x）在点x0处连续，g（xo）=u0，极限？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=f 〔?g（x）〕一定成立吗？ 49

58．如果？g（x）=u0，f（u）在点u0处连续，那末？f〔g（x）〕=f 〔？g（x）〕一定成立吗？ 50

59．一切初等函数在其定义域内都连续吗？ 51

四、导数与微分 53

60．函数在连续点一定可导吗？ 53

61．函数在不连续点处可导吗？ 55

62．函数的导函数一定连续吗？ 55

63．导函数的右极限？f （x）等于右导数f +（x0）吗？ 56

64．如果导函数有不连续点，那末是第几类不连续点呢？ 58

65．如果函数f（x）在有限区间（a,b）内可导，但无界，那末它的导函数f （x）在（a，b）内可能有界吗？ 59

66．如果函数f（x）在有限区间（a，b）内可导，可以由？f（x）=∞推知？f （x）=∞吗？可以由？f （x）=∞推知？f （x）=∞吗？ 60

67．如果函数f（x）在区间（a，+∞）上可导，可以由极限？f（x）存在推知极限？f （x）存在吗？可以由极限？f （x）存在推知极限？f（x）也存在吗？ 61

68．设f（x）和g（x）在点x0处都不可导，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不可导吗？ 62

69．设f（x）在点x0处可导，g（x）在点x0处不可导，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？ 63

70．设f（x）和g（x）在点x0处都不可导，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？ 63

71．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），而f（u）在点u0处可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？ 63

72．设g（x）在点x0处可导，u0=g（x0），而f（u）在点u0处不可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？ 64

73．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），f（u）在点u0处也不可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？ 64

74．如何求复合函数的导数？ 64

75．如何求多个函数的乘积的导数？ 65

76．怎样求函数的高阶导数？ 67

77．为什么说，函数的微分是函数增量的线性主部？ 69

78．为什么自变量的微分等于自变量的增量？ 69

五、中值定理 71

79．当洛尔定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？ 71

80．如果a，b是方程f（x）=0的两个根，f（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，那末方程f （x）=0在（a，b）内至少有一个根吗？ 72

81．当拉格朗日中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？ 73

82．当拉格朗日中值定理的条件满足时，对区间（a，b）内的任一点ξ，可否在这区间内找到两点x1及x2，使f（x2）-f（x1）=f （ξ）（x2-x1）（x1<ξ<x2）成立？ 74

83．当柯西中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？ 74

84．有人根据拉格朗日中值定理说，在（a，b）内至少存在一点ξ，使f（b）-f（a）=f （ ξ）（b-a），F（b）-F（a）=F （ ξ）（b-a），于是？=？，即柯西中值定理成立。这个证明正确吗？ 75

85．任何？型的未定式都可以用洛比达法则求极限吗？ 76

86．任何？型的未定式都可以用洛比达法则求极限吗？ 77

87．可以用洛比达法则求极限??吗？ 77

88．可以用洛比达法则证明极限？？=1吗？ 78

89．可以直接使用洛比达法则求数列的极限吗？ 78

六、导数的应用 81

90．设f（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，如果f （x）在（a，b）内的有限个点或无穷多个离散点处为零，在其余各点处均为正，那末f（x）在〔a，b〕上一定单调增加吗？ 81

91．根据f （x）在点x0处为正，即f （x0）>0，可以断定f（x）在点x0的邻域内单调增加吗？ 82

92．单调函数的导函数一定单调吗？ 82

93．函数的极值与最大、最小值有什么区别？有什么联系？ 83

94．函数的驻点一定是极值点吗？ 84

95．函数在不可导的点处一定有极值吗？ 84

96．当函数在驻点处的二阶导数等于零时，如何判断函数在该驻点处的极值情况？ 84

97．如果函数f（x）在点x0处有极大值，能否肯定地说：f（x）在点x0的某充分小的邻域内，在点x0的左侧单调增加，而在右侧单调减少？ 85

七、不定积分 87

98．怎样理解原函数的概念？ 87

99．一切初等函数都具有原函数吗？ 88

100．怎样理解不定积分的概念？ 89

101．同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达式吗？ 90

102．初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？ 92

103．如何使用第一种换元法求不定积分？ 93

104．如何使用第二种换元法求不定积分？ 96

105．如何使用分部积分法求不定积分？ 99

106．如何求有理函数的不定积分？ 101

107．如何求三角函数的有理式的不定积分？ 103

108．如何求形如R（x，？）的无理函数的不定积分？ 106

八、定积分及其应用 108

109．怎样理解定积分的定义？ 108

110．怎样根据定积分的定义求定积分的值？ 112

111．假定f（x）是区间〔a，b〕上的连续函数，可以用牛顿-莱布尼茨公式来证明？f（x）dx=-?f（x）dx（b>a）吗？ 115

112．可以根据？f（x）dx=-?f（x）dx来证明？f（x）dx=0吗？ 116

113．当函数f（x）在区间〔a，b〕上具有原函数时，f（x）在〔a，b〕上一定可积吗？ 117

114．当函数f（x）在区间〔a，b〕上可积时，f（x）在〔a，b〕上一定具有原函数吗？ 117

115．当f（x）+g（x）在〔a，b〕上可积时，f（x），g（x）分别在〔a，b〕上一定可积吗？ 118

116．怎样正确使用牛顿-莱布尼茨公式？ 118

117．怎样正确使用定积分的换元公式？ 120

118．如何理解和怎样使用定积分的元素法？ 122

九、级数 126

119．怎样理解无穷级数及它的和的概念？ 126

120．级数的敛散性与数列的敛散性有什么联系？ 127

121．一般项趋于零的级数一定收敛吗？ 129

122．正项级数的比值判别法可能失效吗？ 129

123．正项级数的根值判别法可能失效吗？ 132

124．在正项级数的积分判别法中，函数f（x）的单调性这个条件可以省略吗？ 134

125．正项级数的敛散性判别法可以直接应用于任意项级数吗？ 135

126．在交错级数的莱布尼茨判别法中，数列un的单调性这个条件可以省略吗？ 136

127．级数的绝对收敛和收敛有什么区别和联系？ 137

128．级数的绝对收敛性在级数理论中起什么作用？ 138

129．一致收敛的函数项级数一定收敛吗？一定绝对收敛吗？ 140

130．函数项级数的一致收敛性在级数理论中起什么作用？ 142

131．幂级数的收敛域有什么特点？ 144

132．如果两个幂级数的收敛半径相等，那末它们的收敛区间一定相同吗？ 146

133．当幂级数逐项微分或逐项积分后，所得的幂级数的收敛区间会发生变化吗？ 146

134．在点x=0的邻域内具有各阶导数的任何函数都可以展开为x的幂级数吗？ 147

135．展开式（1+x）1n（1+x）=x+??在什么区间上成立？ 150

十、傅立叶级数 152

136．傅立叶级数所讨论的基本问题是什么？ 152

137．傅立叶级数和三角级数有什么区别？ 153

138．满足什么条件的函数可以展开为傅立叶级数？ 155

139．非周期函数可以展开成傅立叶级数吗？ 156

140．非奇函数可以展开成正弦级数吗？ 158

141．什么叫做频谱分析？它与傅立叶级数的复数形式有什么关系？ 159

十一、多元函数的微分法及其应用 162

142．怎样理解二元函数的概念？ 162

143．怎样理解二元函数的极限的概念？ 163

144．二元函数极限的分析定义对P0是函数定义区域D的边界点的情形是否适用？ 165

145．如果在求二元函数？当x→0，y→0的极限时，令x=rcosθ，y=rsinθ，于是，？？=？？=0，对吗？ 167

146．如果一元函数f（x，y0）和f（x0，y）分别在x0和y0连续，那末二元函数f（x，y）在（x0，y0）一定连续吗？ 168

147．偏导数的记号（例如？）可以看成商或分数吗？ 169

148．任何二元连续函数都存在偏导数吗？ 170

149．如果函数z=f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）处都存在，那末f（x，y）在点P0处一定连续吗？ 171

150．如果函数z= f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）都存在，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？ 172

151．如果函数z= f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）的某邻域内有界，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？ 174

152．如果函数z- f（x，y）在点P0 f（x0，y0）的全微分存在，那末它的偏导数？和？在点P0一定连续吗？ 175

153．如果在点P0 （x0，y0），函数f（x，y）沿任一方向α的方向导数都存在，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？ 176

154．多元复合函数的求导公式有什么规律？ 178

155．多元函数全微分的运算法则是怎样的？ 179

156．设u=ψ（x，y）在点（x，y）可微，z=f（u）在相应的点u也可微，那末dz=f （u）du成立吗？ 180

157．设z=f（u，v）的偏导数？和？都存在，u=ψ（t），v=ψ（t）的导数？和？也都存在，那末全导数公式？=？·？+？·？一定成立吗？ 181

158．隐函数存在定理在隐函数的研究中起什么作用？ 183

159．对于任何二元函数，f xy=f yx都成立吗？ 186

160．拉普拉斯方程？+？=0在极坐标系中的形式是怎样的？ 187

161．二元函数的极值点一定是驻点吗？ 188

162．二元函数的驻点一定是极值点吗？ 189

163．如果二元连续函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那末这个极大（小）值一定是函数在该区域上的最大（小）值吗？ 190

164．在区域内连续的二元函数在该区域内是否有可能具有多个极大值，而无极小值？ 191

165．如果不能肯定二元函数在某区域上的最大（小）值在区域内部取得，如何求函数在该区域上的最大（小）值？ 192

166．怎样求解条件极值问题？ 194

十二、重积分 201

167．怎样理解二重积分的定义？ 201

168．怎样把二重积分化成二次积分计算？ 202

169．怎样交换二次积分的次序？ 207

170．任何二重积分都可以在直角坐标系中化成二次积分进行计算吗？ 209

171．怎样利用极坐标计算二重积分？ 210

172．在哪些情况下适宜于用极坐标计算二重积分？ 212

173．怎样理解二重积分的换元公式？ 215

174．当二重积分的积分区域D包含原点时，换元公式((？f（x，y）dxdy=(?f（rco?θ，rsinθ）rdrdθ是否成立？ 219

175．三重积分的定义是怎样的？ 221

176．怎样把三重积分化成三次积分计算？ 222

177．三重积分也有换元公式吗？ 224

178．在哪些情况下适宜于用柱面坐标、球面坐标来计算三重积分？ 226

179．你能由定积分、二重积分及三重积分引出n重积分的概念吗？ 227

十三、曲线积分及曲面积分 230

180．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分有什么区别和联系？ 230

181．怎样把对弧长的曲线积分化成定积分计算？ 232

182．怎样把对坐标的曲线积分化成定积分计算？ 237

183．格林公式有什么用处？ 239

184．在平面区域D上满足条件？=？的曲线积分？Pdx+Qdy一定与路线无关吗？ 244

185．当P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某个二元函数u（x，y）的全微分时，怎样求u（x，y）？ 246

186．对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分有什么区别和联系？ 249

187．怎样把对面积的曲面积分化成二重积分计算？ 251

188．怎样把对坐标的曲面积分化成二重积分计算？ 254

189．奥-高公式有什么用处？ 258

190．怎样解释奥-高公式的物理意义？ 260

191．格林公式和奥-高公式有什么共同点？ 262

十四、微分方程 264

192．怎样理解微分方程的通解和特解的概念？ 264

193．什么叫做变量可分离的微分方程？怎样求它的解？ 267

194．求解线性微分方程的常数变易法是怎样的？ 270

195．怎样求解常系数线性微分方程？ 274

196．什么叫做全微分方程？如何求它的解？ 276

197．什么叫积分因子？怎样找积分因子？ 278

198．变量代换在求解微分方程中起什么作用？ 283

199．怎样求解一般的线性微分方程？ 285

200．用消元法求解常系数线性微分方程组时要注意些什么？ 289

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