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第1章 三维欧氏空间中的矢量与张量 1

1.1 张量的定义 1

1.2 矢量代数 4

1.2.1 坐标基矢 4

1.2.2 任意矢量的点积与叉积 6

1.2.3 δ符号和ε符号的几个公式 9

1.2.4 三矢量的连乘积 11

1.3 坐标变换 12

1.3.1 基矢的变换 12

1.3.2 赝矢量与赝标量 15

1.3.3 矢量分量的变换规律 17

1.3.4 正交变换 18

1.4 三维欧氏空间中张量的定义 20

1.4.1 三维欧氏空间 20

1.4.2 张量的定义 21

1.4.3 一阶和二阶张量的整体符号 28

1.5 三维欧氏空间中的张量运算 31

1.5.1 张量的运算 31

1.5.2 三阶完全反对称赝张量 34

1.5.3 三维欧氏空间中的二阶张量 37

1.6 矢量场与张量场 梯度 散度 旋度 42

1.6.1 导数张量 42

1.6.2 梯度 散度 旋度 44

1.6.3 高阶导数与乘积的导数 48

习题1 51

第2章 仿射空间与伪欧氏空间中的张量 54

2.1 改变空间性质的必要性 54

2.2 仿射空间中的张量 57

2.2.1 仿射空间的定义 58

2.2.2 仿射空间中的坐标系及其变换 60

2.2.3 逆变张量与协变张量 63

2.2.4 张量运算 66

2.2.5 由仿射空间到欧氏空间 67

2.3 伪欧氏空间中的张量 69

2.3.1 伪欧氏空间的建立 69

2.3.2 伪欧氏空间中的坐标基矢 72

2.3.3 伪欧氏空间中的张量 73

2.4 闵可夫斯基空间 78

2.4.1 洛伦兹变换 79

2.4.2 复欧氏空间 83

2.4.3 洛伦兹变换的几何意义 89

2.4.4 光锥 91

2.4.5 洛伦兹收缩 93

2.4.6 相对论力学中的张量分析 95

2.5 闵可夫斯基空间中的张量场 98

2.5.1 电动力学方程的四维表述 98

2.5.2 相对论流体力学方程 105

习题2 111

第3章 平直空间中的曲线坐标 113

3.1 局部标架 113

3.1.1 曲线坐标 113

3.1.2 局部标架 116

3.1.3 拉梅系数 117

3.1.4 曲线坐标中的体积元 119

3.1.5 曲线坐标中的梯度、散度、旋度 120

3.2 曲线坐标中的张量 121

3.2.1 坐标变换 122

3.2.2 张量的定义与运算 123

3.2.3 度规张量 124

3.2.4 弧长与体积 125

3.3 平行移动与联络 127

3.3.1 矢量的平行移动 128

3.3.2 联络的变换规律 130

3.3.3 克里斯托菲尔符号 131

3.4 协变导数 133

3.4.1 一阶协变张量场的协变导数 133

3.4.2 一阶逆变张量场的协变导数 136

3.4.3 高阶张量场的协变导数 137

3.4.4 协变微分 137

3.4.5 矢量场的散度与旋度 138

3.5 曲线坐标小结 141

3.5.1 空间一固定点的局部标架中的张量 141

3.5.2 空间不同点的局部标架之间的联络 142

习题3 145

第4章 黎曼空间中的张量 148

4.1 黎曼空间与仿射联络空间 148

4.1.1 流形中的张量 148

4.1.2 仿射联络空间 150

4.1.3 里奇引理 152

4.1.4 黎曼空间 153

4.2 平行移动对路径的依赖性 曲率张量 157

4.2.1 平行移动对路径的依赖性 157

4.2.2 曲率张量的定义 158

4.2.3 曲率张量的性质 161

4.2.4 协变曲率张量 162

4.2.5 里奇张量与标量曲率 164

4.2.6 二维黎曼空间的高斯曲率 164

4.3 黎曼空间的测地线 166

4.3.1 测地线的定义 166

4.3.2 测地线的微分方程 167

4.3.3 黎曼空间中的测地线 169

4.4 广义相对性原理 173

4.4.1 有引力场存在时时空的弯曲 173

4.4.2 基本粒子的内部对称性 176

习题4 181

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