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第一章　行列式 1

1　行列式的概念 1

一、排列和逆序数 1

二、二阶与三阶行列式 2

三、n阶行列式 3

2　行列式的性质 5

一、排列的对换 5

二、行列式的性质 6

3　行列式的展开定理 10

4　克莱姆法则 13

5 拉普拉斯定理与行列式的乘法 15

一、拉普拉斯定理 15

二、行列式的乘法 17

习题一 17

阅读材料1：连加号“∑”与连乘号“П” 19

第二章　n维向量 22

1　n维向量的定义和运算 22

一、n维向量的定义 22

二、向量的加法 23

三、向量的数量乘法 24

2 向量的线性相关性 25

一、线性相关性 25

二、极大线性无关组和秩 31

3 向量的内积 34

一、内积及其性质 34

二、长度、距离和夹角 35

三、正交向量组 37

习题二 39

阅读材料2：数域和数环 40

第三章　矩阵 42

1　矩阵的基本概念 42

2　矩阵的基本运算 44

一、矩阵的加法 44

二、数与矩阵相乘 44

三、矩阵与矩阵相乘 45

四、矩阵的转置 47

五、关于方阵的两个问题 48

3　逆矩阵 50

一、逆矩阵的定义及性质 50

二、方阵A可逆的充要条件 51

4　矩阵的初等变换与初等矩阵 54

一、矩阵的初等变换 54

二、初等矩阵 58

三、用初等变换求逆阵 60

5　矩阵的秩 61

6　分块矩阵 65

一、分块矩阵的概念 65

二、分块矩阵的运算 66

三、两种特殊分块及其应用 69

习题三 71

阅读材料3：分块矩阵的初等变换及其应用 74

第四章　线性方程组 77

1　基本概念 77

一、线性方程组的三种表示形式 77

二、解与解集 78

三、有解判别条件 78

2　齐次线性方程组 79

一、齐次线性方程组解的讨论 79

二、向量组的极大线性无关组的求法 83

3　非齐次线性方程组 84

习题四 87

阅读材料4：无解线性方程组的最小二乘解 90

第五章　方阵的特征值和特征向量 93

1　定义与求法 93

一、定义和基本性质 93

二、特征值和特征向量的求法 94

2　方阵的相似关系和对角化问题 98

一、相似关系的定义与性质 98

二、相似对角化及其应用 98

3　实对称矩阵的正交对角化 100

一、正交矩阵 100

二、实对称矩阵的正交对角化 101

习题五 104

阅读材料5：若当（Jordan）标准形介绍 106

第六章　二次型 109

1　二次型及其矩阵表示 109

2　标准形及其求法 112

一、配方法 112

二、初等变换法（也称为合同变换法） 114

三、正交变换法 116

3　正定二次型和正定矩阵 119

习题六 121

阅读材料6：正定二次型及其他 122

第七章 线性空间与线性变换 124

1　线性空间的基本概念 124

一、线性空间的定义和基本性质 124

二、子空间及其充要条件 126

2　基与坐标 127

一、基与维数 127

二、坐标 128

三、同构 130

3　基变换与坐标变换 130

一、过渡矩阵 130

二、坐标变换公式 131

4　线性变换 134

一、定义与例子 134

二、基本性质 135

5　线性变换的矩阵 136

一、定义与例子 136

二、同一线性变换关于不同基的矩阵 139

三、线性变换的秩和零度 140

习题七 140

阅读材料7：集合与映射 142

习题参考答案 144

自我检测题 154

主要参考文献 189

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