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第1章 数值计算引论 1

1.1数值计算的对象与特点 1

1.1.1数值计算的目的 1

1.1.2算法的优劣 1

1.1.3数值计算中常用的方法 2

1.2数值计算的误差 5

1.2.1误差的来源及分类 5

1.2.2误差与有效数字 6

1.2.3数值计算的误差估计 9

1.3数值计算中应注意的问题 11

1.4 MATLAB软件简介 15

1.4.1数字及其运算 15

1.4.2矩阵及其运算 17

1.4.3图形功能 21

1.4.4流程控制 22

1.4.5 M文件 25

习题1 27

第2章 解线性方程组的直接法 29

2.1引言及预备知识 29

2.1.1引言 29

2.1.2预备知识 30

2.2 Gauss消去法 31

2.2.1三角形方程组的算法 31

2.2.2 Gauss消去法 33

2.2.3选主元的Gauss消去法 36

2.2.4 Gauss-Jordan消去法 38

2.3矩阵三角分解法 41

2.3.1矩阵的三角分解 41

2.3.2直接三角分解法 43

2.3.3平方根法 46

2.3.4求解三对角方程组的追赶法 49

2.4向量和矩阵的范数 52

2.4.1向量范数 55

2.4.2矩阵范数 55

2.4.3谱半径 56

2.5误差分析 57

2.5.1方程组的性态 57

2.5.2精度分析 61

2.6数值实验 62

2.6.1 Gauss消去法 62

2.6.2选主元Gauss消去法 63

2.6.3直接三角分解法 65

习题2 68

第3章 解线性方程组的迭代法 71

3.1引言 71

3.2基本迭代法 71

3.2.1 Jacobi迭代法 71

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 74

3.2.3 SOR迭代法 76

3.3迭代法的收敛性 78

3.3.1一阶定常迭代法的基本定理 78

3.3.2迭代收敛性的判断 79

3.3.3特殊线性方程组迭代收敛性的进一步讨论 85

3.4数值实验 90

3.4.1 Jacobi迭代法 90

3.4.2 Gauss-Seidel迭代法 91

3.4.3 SOR迭代法 93

习题3 95

第4章 非线性方程（组）的数值解法 98

4.1引言 98

4.2非线性方程的二分法 99

4.3简单迭代法 101

4.3.1简单迭代方法 101

4.3.2收敛定理 102

4.3.3迭代的几何意义 105

4.4迭代加速方法 106

4.4.1 Aitken加速 107

4.4.2 Steffensen加速 108

4.5 Newton迭代法 109

4.5.1 Newton迭代原理 109

4.5.2 Newton迭代收敛定理 111

4.5.3改进与推广 114

4.6解非线性方程组F（x）=0的Newton法 119

4.6.1问题的提法及基本概念 119

4.6.2收敛定理 120

4.7数值实验 121

4.7.1二分法 121

4.7.2简单迭代法 122

4.7.3 Newton迭代和割线法 123

习题4 126

第5章 插值法 128

5.1引言 128

5.1.1插值问题的提法 128

5.1.2插值多项式的存在性、唯一性 129

5.2 Lagrange插值多项式 130

5.2.1插值基函数 130

5.2.2 Lagrange插值多项式 130

5.2.3插值余项 133

5.3差商与Newton插值 135

5.3.1差商及性质 135

5.3.2 Newton插值多项式 137

5.4差分、等距节点Newton插值多项式 139

5.4.1差分及其性质 140

5.4.2等距节点Newton插值多项式 141

5.5 Hermite插值 144

5.5.1 Hermite插值问题 144

5.5.2特殊的Hermite插值多项式的构造 146

5.6分段低次插值法 147

5.6.1高次插值的Runge现象 147

5.6.2分段线性插值 148

5.6.3分段三次Hermite插值 149

5.7三次样条插值 150

5.8数值实验 156

5.8.1 Lagrange插值 156

5.8.2 Newton插值与差商表 157

5.8.3 Hermite插值 158

5.8.4分段线性插值和三次样条插值 159

习题5 162

第6章 逼近 165

6.1引言 165

6.2正交多项式 166

6.2.1连续函数空间 166

6.2.2正交多项式的理论 169

6.2.3常用正交多项式 172

6.3函数的最佳平方逼近 176

6.3.1最佳平方逼近函数的概念 176

6.3.2用多项式作最佳平方逼近 178

6.3.3用正交多项式作最佳平方逼近 180

6.4最小二乘逼近 181

6.4.1一般的最小二乘逼近 181

6.4.2最小二乘逼近多项式 183

6.5可化为线性模型的曲线拟合 185

6.6数值实验 191

习题6 195

第7章 数值积分与数值微分 197

7.1数值积分的基本思想 197

7.2插值型积分公式 198

7.3 Newton-Cotes公式 200

7.3.1 Newton-Cotes公式的推导 200

7.3.2 Newton-Cotes公式的余项估计 203

7.3.3 Newton-Cotes公式的数值稳定性 204

7.4复化求积公式 204

7.4.1复化梯形公式 205

7.4.2复化Simpson公式 206

7.5 Romberg算法 208

7.5.1区间逐次分半法 208

7.5.2 Romberg算法 210

7.6 Gauss型求积公式 212

7.6.1 Gauss型求积思想 212

7.6.2 Gauss型求积的误差估计和稳定性分析 215

7.6.3几种常见的Gauss型求积公式 216

7.7数值微分 219

7.7.1差商型数值微分 219

7.7.2插值型数值微分 220

7.7.3样条函数微分公式 222

7.8数值实验 223

7.8.1 MATLAB自带积分函数 223

7.8.2复化求积公式 224

7.8.3 Romberg积分 225

7.8.4 Gauss型积分 226

7.8.5数值微分 228

习题7 230

第8章 常微分方程初值问题数值算法 232

8.1引言 232

8.2 Euler方法 233

8.2.1 Euler方法 233

8.2.2改进的Euler公式 236

8.3 Runge-Kutta方法 237

8.3.1 Runge-Kutta方法的构造原理 238

8.3.2常用公式 240

8.3.3步长的自动选择 242

8.4单步法的收敛性与稳定性 244

8.4.1单步法的收敛性 244

8.4.2单步法的稳定性 245

8.5线性多步法 246

8.5.1 Adams方法 247

8.5.2待定系数法 251

8.5.3多步法的计算 252

8.6边值问题的数值解法 253

8.6.1有限差分解法 254

8.6.2打靶法 255

8.7数值实验 256

8.7.1 Euler方法 256

8.7.2 R-K方法 257

8.7.3 MATLAB自带的求解常微分方程函数 258

习题8 260

参考文献 262

部分习题答案 263

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