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第1章 常微分方程初值问题的数值解法 1

1.1 解的适定性 1

1.1.1 解的唯一性 1

1.1.2 解的稳定性 3

1.2 Euler方法 5

1.2.1 Euler公式 5

1.2.2 收敛性分析 7

1.2.3 渐近稳定性分析 10

1.3 改进的Euler方法 10

1.3.1 梯形公式 10

1.3.2 误差分析 12

1.4 Runge-Kutta方法 13

1.4.1 显式Runge-Kutta公式 13

1.4.2 误差分析 23

1.4.3 隐式Runge-Kutta公式 27

1.5 线性多步法 30

1.6 稳定性分析 34

1.7 一般线性多步法 37

1.7.1 待定系数法 37

1.7.2 数值积分法 40

1.8 Adams线性多步法 41

1.8.1 Adams-Bashforth公式 41

1.8.2 Adams-Moulton公式 43

1.9 其他线性多步法 45

1.9.1 Nystr？m方法 46

1.9.2 Milne-Simpson公式 47

1.10 Richardson外推 47

1.11 线性差分方程 51

1.11.1 非常系数线性差分方程 52

1.11.2 常系数线性差分方程 56

1.12 多步法的收敛性和稳定性 61

1.12.1 稳定性理论 62

1.12.2 强稳定性和弱稳定性 69

1.12.3 相对稳定性与绝对稳定性 69

1.12.4 Dahlquist稳定性理论 73

1.13 预测-校正算法 75

1.13.1 局部截断误差 76

1.13.2 修正算法 79

1.14 刚性方程组的解法 82

1.15 Hamilton系统的辛几何算法 89

1.15.1 辛几何与辛代数的基本概念 89

1.15.2 Hamilton系统的辛格式 92

练习题 96

第2章 两点边值问题的试射法 101

2.1 边值问题解的存在性和唯一性 101

2.2 二阶常微分方程的试射法 103

2.3 二阶非线性常微分方程的试射法 104

练习题 109

第3章 椭圆型方程的差分解法 111

3.1 二阶线性两点边值问题的差分格式 111

3.1.1 差分近似 112

3.1.2 有限体积法 114

3.2 非线性两点边值问题的差分格式 117

3.3 Laplace方程的五点差分格式 118

3.4 有限体积法 127

3.5 边界条件的处理 128

3.5.1 Dirichlet边界条件 128

3.5.2 Neumann边界条件 129

3.5.3 Robbins边界条件 132

3.6 轴对称Poisson方程的差分格式 135

3.7 扩散对流方程 139

3.8 Poisson方程五点差分格式的收敛性分析 140

3.9 能量分析法 143

练习题 147

第4章 收敛性、相容性和稳定性 150

4.1 收敛性 150

4.2 相容性 152

4.3 稳定性 156

4.4 Lax定理 159

4.5 Fourier级数法稳定性分析 161

4.5.1 初值问题 161

4.5.2 初边值问题 169

4.5.3 von Neumann条件的充分性 173

4.6 von Neumann多项式分析 177

4.7 Hurwitz判别法 187

4.8 矩阵法稳定性分析 195

4.9 能量稳定性分析 203

4.9.1 双曲型问题 203

4.9.2 热传导问题 207

4.9.3 非线性初值问题 209

练习题 213

第5章 抛物型方程的差分解法 216

5.1 一维常系数扩散方程 216

5.1.1 向前和向后差分格式 216

5.1.2 加权隐式格式 217

5.1.3 三层显格式 218

5.1.4 二层隐式格式 222

5.1.5 三层隐格式 223

5.2 变系数抛物型方程 224

5.3 非线性抛物型方程 226

5.3.1 三层显格式 226

5.3.2 线性化差分格式 227

5.3.3 CN格式和预测校正格式 228

5.4 二维热传导方程 230

5.4.1 加权差分格式 230

5.4.2 Du Fort-Frankel格式 231

5.4.3 交替方向隐（ADI）格式 231

5.4.4 局部一维（LOD）法 236

5.5 三维热传导方程 237

5.6 高维热传导方程 241

5.7 算子形式的热传导方程 243

5.7.1 CN格式 243

5.7.2 CN分裂格式 244

练习题 247

第6章 双曲型方程的差分解法 250

6.1 线性对流方程 250

6.1.1 迎风格式 250

6.1.2 Lax-Friedrichs格式 252

6.1.3 Lax-Wendroff格式 253

6.1.4 MacCormack格式 254

6.1.5 Wendroff隐式格式 255

6.1.6 Crank-Nicolson格式 256

6.2 特征线与差分格式 257

6.2.1 特征线与CFL条件 257

6.2.2 用特征线方法构造差分格式 260

6.3 偏微分方程的相位速度和群速度 262

6.3.1 相位速度 262

6.3.2 群速度 263

6.4 数值相位速度和群速度 264

6.5 修正的偏微分方程 269

6.6 一阶双曲型方程组的特征形式 277

6.7 一阶双曲型方程组的差分格式 280

6.8 维线性对流方程的差分格式 284

6.8.1 典型差分格式 284

6.8.2 ADI格式 287

6.9 一维声波方程 289

6.9.1 特征线 289

6.9.2 显式差分格式 291

6.9.3 隐式差分格式 293

6.9.4 方程组形式的差分格式 295

6.10 二维声波方程 298

6.10.1 显式格式 298

6.10.2 隐式格式 300

6.11 三维声波方程 301

6.11.1 显式格式 301

6.11.2 隐式格式 304

练习题 305

第7章 波动方程有限差分波场模拟 308

7.1 ADI格式 308

7.1.1 二维声波方程 309

7.1.2 三维声波方程 315

7.2 LOD格式 319

7.2.1 二维声波方程 319

7.2.2 三维声波方程 322

7.2.3 高维声波方程 324

7.3 高精度LOD格式 325

7.3.1 稳定性分析 327

7.3.2 初边值条件 329

7.3.3 数值计算 330

7.4 高阶紧致隐式格式 334

7.5 二维弹性波方程的交错网格法 338

7.6 二维弹性波方程的有限体积法 343

7.6.1 公式推导 343

7.6.2 数值计算 346

7.7 三维弹性波方程的交错网格法 348

7.8 多孔含流体弹性介质方程的交错网格法 355

7.8.1 弹性多孔介质方程——Biot方程 355

7.8.2 基于速度压力方程的交错网格法 358

7.8.3 二维数值计算 363

7.8.4 三维数值计算 364

7.9 三维弹性波方程的能量稳定性分析 373

7.10 三维电磁场方程 381

附录1 差分系数的计算 390

附录2 常用公式和定理 396

参考文献 401

索引 406

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