2016考研数学历年真题分题型详解 数学三PDF格式文档图书下载

第1部分 微积分 2

第1章 函数、极限、连续 2

考点1.1.1 函数的概念与性质 2

题型1.1.1.1 求分段函数的复合函数 2

题型1.1.1.2 判定数列或函数在区间上的有界性 3

考点1.1.2 极限的概念与性质 4

题型1.1.2.1 判定极限的存在性 4

题型1.1.2.2 讨论极限的性质 5

考点1.1.3 求函数极限 6

题型1.1.3.1 求0/0型或∞/∞型极限 6

题型1.1.3.2 求∞-∞型极限 8

题型1.1.3.3 求幂指函数型极限 9

题型1.1.3.4 求极限式含幂指函数的极限 11

题型1.1.3.5 求极限式含指数函数差的极限 11

题型1.1.3.6 求极限式含lnf(x)的函数极限，其中lim x→□f(x)=1 12

题型1.1.3.7 求含有界变量为因子的函数极限 13

题型1.1.3.8 求数列极限 13

考点1.1.4 确定未知参（函）数 16

题型1.1.4.1 已知极限式的极限，反求其所含的未知参数 16

题型1.1.4.2 已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限 21

考点1.1.5 无穷小量或无穷大量的比较 22

题型1.1.5.1 无穷小量的运算及其阶的比较 22

题型1.1.5.2 确定无穷小量的阶数 22

题型1.1.5.3 无穷大量阶的比较 24

考点1.1.6 讨论函数的连续性及间断点的类型 25

题型1.1.6.1 讨论函数的连续性 25

题型1.1.6.2 判别函数f(x)间断点的个数及其类型 26

题型1.1.6.3 已知分段函数的连续性求其待定常数 28

考点1.1.7 连续函数性质的应用 29

题型1.1.7.1 介值定理（零点定理）的应用 29

第2章 一元函数微分学 31

考点1.2.1 导数定义的应用 31

题型1.2.1.1 讨论函数在某点的可导性 31

题型1.2.1.2 讨论分段函数的可导性及导函数的连续性 33

题型1.2.1.3 利用导数定义求极限或导数 34

考点1.2.2 求一元函数的导数和微分 36

题型1.2.2.1 求各类一元函数的各阶导数 36

题型1.2.2.2 微分的概念与计算 37

考点1.2.3 利用导数讨论函数性态 39

题型1.2.3.1 确定单调区间与极值 39

题型1.2.3.2 已知一极限式，讨论函数是否取得极值 42

题型1.2.3.3 求函数曲线的凹凸区间与拐点 43

题型1.2.3.4 求函数曲线的渐近线 45

题型1.2.3.5 确定函数方程存在实根及其个数问题 47

考点1.2.4 微分中值定理的应用 49

题型1.2.4.1 利用微分中值定理的条件与结论解题 49

题型1.2.4.2 使用罗尔定理证明中值等式 50

题型1.2.4.3 证明中值等式f′(ξ)±g′(ξ)F(ξ)=0 53

题型1.2.4.4 证明与函数差值有关的中值命题 55

题型1.2.4.5 证明存在多个中值所满足的中值等式 56

题型1.2.4.6 证明函数与其导数的关系 58

题型1.2.4.7 利用导数证明不等式 59

考点1.2.5 一元函数微分学的几何应用 62

题型1.2.5.1 求曲线的切线和（或）法线方程 62

题型1.2.5.2 求解与两曲线相切的有关问题 62

题型1.2.5.3 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 62

考点1.2.6 导数在经济活动分析中的应用 63

题型1.2.6.1 计算与弹性有关的问题 64

题型1.2.6.2 计算与边际和弹性有关的应用题 65

题型1.2.6.3 求解经济函数的最值问题 67

第3章 一元函数积分学 71

考点1.3.1 原函数与不定积分的关系 71

题型1.3.1.1 原函数与不定积分的概念及其性质 71

题型1.3.1.2 连续函数f(x)与其原函数F(x)即f(x)与f′(x)的性质之间的关系 71

考点1.3.2 计算不定积分 72

题型1.3.2.1 计算分母含根号因子的无理函数的不定积分（定积分） 72

题型1.3.2.2 求简单无理函数的不定积分 73

题型1.3.2.3 求被积函数含反三角函数、对数函数为因子函数的不定积分 74

考点1.3.3 计算定积分 75

题型1.3.3.1 利用定积分的几何意义计算定积分 75

题型1.3.3.2 计算对称区间［-a,a］上的定积分 76

题型1.3.3.3 计算被积函数含导函数的积分 78

题型1.3.3.4 计算∫bfa[ψ(x)]dx 79

题型1.3.3.5 求解函数方程，该方程含积分区间（区域）确定的未知函数的定（二重）积分 79

题型1.3.3.6 比较定积分值的大小 80

题型1.3.3.7 计算周期函数的定积分 82

题型1.3.3.8 已知积分值，反求待定常数 84

考点1.3.4 求解与变限积分有关的问题 84

题型1.3.4.1 求变限积分的导数 84

题型1.3.4.2 求含变限积分的未定式极限 85

题型1.3.4.3 讨论变限积分函数的性态 85

考点1.3.5 有关定积分的证明 88

题型1.3.5.1 证明定积分的等式 88

题型1.3.5.2 证明定积分的不等式 89

考点1.3.6 计算反常积分（广义积分） 92

题型1.3.6.1 计算无穷区间上的反常积分 92

题型1.3.6.2 计算无界函数的反常积分 93

考点1.3.7 一元函数积分学的应用 94

题型1.3.7.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 94

题型1.3.7.2 求旋转体体积 95

题型1.3.7.3 求解与最值问题相结合的几何应用题 96

题型1.3.7.4 由边际函数求总函数 97

第4章 多元函数微积分学 99

考点1.4.1 二元（多元）函数微分学中的基本概念 99

题型1.4.1.1 二元函数极限、连续、可偏导及可微的基本概念 99

题型1.4.1.2 二元函数的极限、连续、可偏导及可微的关系 100

考点1.4.2 计算复合函数的偏导数 101

题型1.4.2.1 计算二元（多元）函数的偏导数（的值） 102

题型1.4.2.2 求带抽象函数记号的复合函数的偏导数 102

考点1.4.3 求二元函数的全微分 105

题型1.4.3.1 求二元显函数的全微分 106

题型1.4.3.2 求多元隐函数的偏导数及其全微分 108

考点1.4.4 多元函数微分学的应用 110

题型1.4.4.1 求二元函数的极值（无条件极值）和最值 110

题型1.4.4.2 求解二（多）元函数的条件极值和条件最大值、最小值问题 112

考点1.4.5 计算二重积分 115

题型1.4.5.1 根据积分区域或被积函数适当选择积分次序计算二重积分 116

题型1.4.5.2 交换二次积分的积分次序 117

题型1.4.5.3 转换二次积分（转换坐标系） 118

题型1.4.5.4 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算 119

题型1.4.5.5 分块计算二重积分 123

题型1.4.5.6 计算简单无界区域上的二重积分 128

题型1.4.5.7 讨论二重积分的大小 129

考点1.4.6 计算圆域上的二重积分 130

题型1.4.6.1 计算圆域x2＋y2≤a2(a＞0)上的二重积分 130

题型1.4.6.2 计算圆域x2＋y2≤2ax(a＞0)上的二重积分 131

题型1.4.6.3 计算圆域x2＋y2≤2by(b＞0)上的二重积分 132

题型1.4.6.4 计算圆域x2＋y2≤-2by(b＞0)上的二重积分 133

题型1.4.6.5 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c上的二重积分 133

第5章 无穷级数 135

考点1.5.1 判别（证明）常数项级数的敛散性 135

题型1.5.1.1 判别正项级数的敛散性 135

题型1.5.1.2 判别交错级数的敛散性 136

题型1.5.1.3 判别任意项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛 137

题型1.5.1.4 已知数项级数的敛散性，确定其参数的取值范围 139

考点1.5.2 幂级数 140

题型1.5.2.1 求幂级数的收敛半径或（和）收敛域 140

题型1.5.2.2 求幂级数的和函数 142

题型1.5.2.3 求数项级数的和 147

考点1.5.3 将函数展为幂级数 149

题型1.5.3.1 求函数在指定点的幂级数展开式 150

题型1.5.3.2 幂级数展开式的简单应用 151

第6章 常微分方程与差分方程 154

考点1.6.1 求解一阶线性微分方程 154

题型1.6.1.1 求解变量可分离的微分方程 154

题型1.6.1.2 求解齐次微分方程 154

题型1.6.1.3 求解一阶线性非齐次微分方程y′＋p(x)y=q(x) 155

题型1.6.1.4 求解以分段函数为非齐次项或系数的一阶线性微分方程 156

题型1.6.1.5 求解可化为一阶微分方程的方程 157

考点1.6.2 求解未知函数出现在积分号内的方程 158

题型1.6.2.1 求解含变限积分的方程 158

题型1.6.2.2 求解含积分区域变化的二重积分的函数方程 160

考点1.6.3 求解二阶（高阶）常系数线性微分方程 161

题型1.6.3.1 确定二阶常系数非齐次线性微分方程特解形式 161

题型1.6.3.2 求解二阶常系数线性微分方程 162

考点1.6.4 微分方程的简单应用 163

题型1.6.4.1 求解与平面图形面积有关的问题 163

题型1.6.4.2 求解与旋转体体积有关的问题 164

考点1.6.5 一阶常系数线性差分方程 165

题型1.6.5.1 求解一阶常系数线性非齐次差分方程 165

题型1.6.5.2 一阶常系数线性非次差分方程的简单应用 166

第2部分 线性代数 168

第1章 行 列 式 168

考点2.1.1 计算数字型行列式 168

题型2.1.1.1 计算行和（或列和）相等的行列式 168

题型2.1.1.2 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式 169

题型2.1.1.3 计算非零元素在平行于主对角线的三条线上的行列式 171

考点2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 173

题型2.1.2.1 求解同阶矩阵A,B的线性组合的行列式|aA＋bB|（a,b为常数） 173

题型2.1.2.2 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 174

题型2.1.2.3 利用方阵相乘的行列式性质计算行列式 174

题型2.1.2.4 利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式 176

考点2.1.3 克拉默法则的应用 176

题型2.1.3.1 求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解 176

题型2.1.3.2 已知方程组A…X=0只有零解或有非零解，确定待求常数 177

第2章 矩 阵 178

考点2.2.1 矩阵运算 178

题型2.2.1.1 利用矩阵乘法的结合律计算乘积矩阵 178

题型2.2.1.2 计算矩阵的高次幂 179

题型2.2.1.3 证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式 179

题型2.2.1.4 求元素已知的矩阵的逆矩阵 180

考点2.2.2 求解与伴随矩阵有关的问题 182

题型2.2.2.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 182

题型2.2.2.2 求（A＊）-1或（A-1）＊ 183

题型2.2.2.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 183

题型2.2.2.4 求伴随矩阵的表达式 184

考点2.2.3 求矩阵的秩 186

题型2.2.3.1 求数字型矩阵的秩 186

题型2.2.3.2 求抽象矩阵的秩 186

题型2.2.3.3 已知矩阵的秩，求其待定常数或其待定常数所满足的关系 188

考点2.2.4 求解矩阵方程 189

题型2.2.4.1 求解系数矩阵可逆的矩阵方程 189

题型2.2.4.2 求解系数矩阵不可逆的矩阵方程 191

考点2.2.5 求解与初等变换有关的问题 193

题型2.2.5.1 用初等矩阵表示初等变换 193

题型2.2.5.2 利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵或其运算后的矩阵 194

题型2.2.5.3 讨论等价矩阵的有关问题 197

第3章 向 量 199

考点2.3.1 向量的线性组合与线性表示 199

题型2.3.1.1 讨论一向量能否用一向量组线性表示 199

题型2.3.1.2 若向量β与向量组α1，α2，…，αs为抽象型的向量组（向量的具体元素未知），讨论β能否由该向量组线性表示 200

题型2.3.1.3 判别两向量组是否等价 201

考点2.3.2 向量组的线性相关性 204

题型2.3.2.1 判别（证明）向量组的线性相关性 204

题型2.3.2.2 已知一向量组线性无关，判定其线性组合的向量组的线性相关性 205

题型2.3.2.3 证明向量组线性无关 207

题型2.3.2.4 两个有线性关系的向量组的性质 210

题型2.3.2.5 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 211

题型2.3.2.6 求向量组的极大线性无关组和向量组的秩 213

第4章 线性方程组 215

考点2.4.1 线性方程组解的判定 215

题型2.4.1.1 判定齐次和非齐次线性方程组解的情况 215

题型2.4.1.2 已知线性方程组解的情况，求其参数 216

考点2.4.2 基础解系 218

题型2.4.2.1 基础解系的判定或证明 218

题型2.4.2.2 基础解系和特解的求法 219

考点2.4.3 求解线性方程组 222

题型2.4.3.1 求解不含参数的线性方程组的通解 222

题型2.4.3.2 求解含参数的齐次线性方程组 223

题型2.4.3.3 求解含参数的非齐次线性方程组 226

题型2.4.3.4 求解其通解满足一定条件的含参数的方程组 229

考点2.4.4 求（抽象）线性方程组的通解 230

题型2.4.4.1 A没有具体给出，利用解的结构定理求AX=0的通解 230

题型2.4.4.2 利用线性方程组的向量形式求其通解 232

考点2.4.5 求两线性方程组的公共解 233

题型2.4.5.1 已知具体的线性方程组求其公共解 233

题型2.4.5.2 已知一个方程组的通解及另一具体方程组，求其（非零）公共解 235

考点2.4.6 讨论两方程组同解的有关问题 236

题型2.4.6.1 证明两齐次线性方程组同解 236

题型2.4.6.2 已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数 238

第5章 矩阵的特征值和特征向量 241

考点2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 241

题型2.5.1.1 求数字型矩阵的特征值和特征向量 241

题型2.5.1.2 求抽象矩阵的特征值、特征向量 243

题型2.5.1.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量 243

考点2.5.2 使用特征值、特征向量求解有关问题 244

题型2.5.2.1 已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数 244

题型2.5.2.2 已知矩阵的特征值、特征向量反求其矩阵 245

题型2.5.2.3 矩阵特征值的两条性质的应用 248

考点2.5.3 相似矩阵与相似对角化 248

题型2.5.3.1 判别或证明两矩阵相似 248

题型2.5.3.2 判别方阵是否可相似对角化 249

题型2.5.3.3 利用相似矩阵的性质求矩阵中的参数 252

考点2.5.4 将矩阵化为相似对角矩阵 254

题型2.5.4.1 已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵 254

题型2.5.4.2 已知A可相似对角化，求对角矩阵A使P-1AP=∧ 255

考点2.5.5 实对称矩阵性质的应用 256

题型2.5.5.1 已知实对称矩阵的部分特征向量，求另一部分特征向量 256

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵 257

题型2.5.5.3 利用相似对角化求矩阵的高次幂 258

第6章 二 次 型 261

考点2.6.1 二次型的几个基本概念 261

题型2.6.1.1 求二次型的矩阵表示 261

题型2.6.1.2 求二次型的秩 262

考点2.6.2 求解与化标准形有关的问题 263

题型2.6.2.1 用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵） 263

题型2.6.2.2 已知二次型的标准形（规范形），反求原二次型中的未知参数 267

考点2.6.3 判别实二次型（实对称矩阵）的正定性 268

题型2.6.3.1 判别二次型或其矩阵的正定性 268

题型2.6.3.2 确定参数值使二次型或其矩阵正定 270

考点2.6.4 合同矩阵与合同变换 272

题型2.6.4.1 判别（证明）两实对称矩阵合同 272

第3部分 概率论与数理统计 278

第1章 随机事件与概率 278

考点3.1.1 随机事件的关系及其运算法则 278

题型3.1.1.1 随机事件的关系 278

题型3.1.1.2 随机事件的运算及其性质 279

考点3.1.2 计算事件的概率 279

题型3.1.2.1 计算古典型概率 279

题型3.1.2.2 计算几何型概率 280

题型3.1.2.3 计算伯努利概型的概率 282

考点3.1.3 计算概率的几个常用公式的应用 284

题型3.1.3.1 计算概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式与减法公式的应用 284

题型3.1.3.2 全概率公式和贝叶斯公式的应用 285

考点3.1.4 事件独立性的判别与应用 287

题型3.1.4.1 判别（证明）两事件相互独立 287

题型3.1.4.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 288

题型3.1.4.3 事件相互独立性质的应用 289

第2章 一维随机变量及其分布 291

考点3.2.1 判别分布列、概率密度、分布函数 291

题型3.2.1.1 分布函数的判别 291

题型3.2.1.2 概率密度函数的判定 292

考点3.2.2 求分布律和分布函数 292

题型3.2.2.1 求离散型随机变量的分布律（概率分布） 292

题型3.2.2.2 求随机变量的分布函数 294

题型3.2.2.3 讨论分布函数的性质 297

考点3.2.3 利用分布计算事件的概率 298

题型3.2.3.1 利用分布函数计算事件的概率 298

题型3.2.3.2 利用常见分布计算概率 298

考点3.2.4 求与随机变量分布有关的参数 301

题型3.2.4.1 已知随机变量的分布求其参数 301

题型3.2.4.2 已知概率，计算区间参数或数字特征参数 302

考点3.2.5 求随机变量函数的分布 304

题型3.2.5.1 求连续型随机变量X的函数g（X）的分布 304

题型3.2.5.2 已知X,Y的分布，求max(X,Y)与min(X,Y)的分布 306

第3章 二维随机变量及其分布 309

考点3.3.1 求二维离散随机变量的联合概率分布 309

题型3.3.1.1 给定随机试验，求离散型随机变量的联合分布 309

题型3.3.1.2 由随机事件或一对随机变量的分布，求出另一对随机变量的联合概率分布 311

题型3.3.1.3 在一定条件下，由X,Y的分布律求（X,Y）的联合分布律 315

考点3.3.2 求二维连续型随机变量的分布 318

题型3.3.2.1 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 318

题型3.3.2.2 由联合概率密度求其边缘概率密度 319

题型3.3.2.3 已知联合密度、边缘密度求其条件密度 320

题型3.3.2.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布 322

考点3.3.3 二维随机变量函数的分布 323

题型3.3.3.1 求二维离散型随机变量函数的概率分布 323

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量函数的分布 324

题型3.3.3.3 求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型，另一个是离散型 330

考点3.3.4 求二维随机变量取值的概率 333

题型3.3.4.1 求二维离散型随机变量取值的概率 333

题型3.3.4.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 334

考点3.3.5 随机变量的独立性 337

题型3.3.5.1 判别两随机变量的独立性 337

题型3.3.5.2 利用两随机变量的独立性确定联合分布中的参数 339

第4章 随机变量的数字特征 340

考点3.4.1 一维随机变量的数字特征 340

题型3.4.1.1 求一维随机变量的数学期望与方差 340

题型3.4.1.2 求一维随机变量函数的期望与方差 341

考点3.4.2 求二维随机变量的数字特征 343

题型3.4.2.1 求二维随机变量函数的数学期望和方差 343

题型3.4.2.2 计算协方差及相关系数 345

题型3.4.2.3 确定两随机变量的相关性 351

考点3.4.3 求解与数字特征有关的应用题 351

题型3.4.3.1 求解与数字特征有关的经济应用题 351

题型3.4.3.2 求解与数字特征有关的其他实际应用题 352

第5章 大数定律和中心极限定理 355

考点3.5.1 切比雪夫不等式 355

题型3.5.1.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率 355

考点3.5.2 大数定律 355

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件和结论解题 355

考点3.5.3 中心极限定理 356

题型3.5.3.1 应用列维－林德伯格中心极限定理的条件和结论解题 357

题型3.5.3.2 列维－林德伯格中心极限定理的应用 358

题型3.5.3.3 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理的应用 360

第6章 数理统计的基本概念 361

考点3.6.1 求统计量的分布 361

题型3.6.1.1 判别或证明统计量服从X2分布 361

题型3.6.1.2 判别或证明统计量服从t分布 362

题型3.6.1.3 判别或证明统计量服从F分布 365

考点3.6.2 统计量的数字特征 366

题型3.6.2.1 求统计量的数字特征 366

题型3.6.2.2 由统计量的数字特征求其特定常数 371

第7章 参数估计 372

考点3.7.1 参数的矩估计和极大似然估计 372

题型3.7.1.1 求参数的矩估计 372

题型3.7.1.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 374

附录 2001—2015年考研数学三试题 379

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 379

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 380

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 382

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 384

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 386

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 388

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 389

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 391

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 393

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 395

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 396

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 398

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 400

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 404

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 407

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