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第1章 向量代数 1

1.1 向量及其线性运算 1

1.1.1 向量及其相关概念 1

1.1.2 向量的线性运算 2

1.1.3 共线向量、共面向量 4

习题1.1 6

1.2 仿射坐标系与空间直角坐标系 7

1.2.1 仿射坐标系 7

1.2.2 空间直角坐标系 9

1.2.3 用坐标进行向量的线性运算 10

1.2.4 向量共线、共面的条件 12

1.2.5 定比分点的坐标 12

习题1.2 13

1.3 向量的数量积 14

1.3.1 数量积及其运算规律 14

1.3.2 数量积的应用 15

1.3.3 向量的投影 16

习题1.3 18

1.4 向量的向量积 19

1.4.1 向量积及其运算规律 19

1.4.2 向量积的坐标表示 20

1.4.3 向量积的应用 21

习题1.4 22

1.5 混合积与复合积 22

1.5.1 向量的混合积 22

1.5.2 复合积 24

习题1.5 25

复习题一 26

第2章 平面与直线 27

2.1 平面方程 27

2.1.1 由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程 27

2.1.2 平面的一般方程 29

2.1.3 平面的法式方程 30

习题2.1 31

2.2 空间直线的方程 32

2.2.1 由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程 32

2.2.2 直线的一般方程 34

习题2.2 35

2.3 点、平面、直线之间的关系 35

2.3.1 平面与点的相关位置 35

2.3.2 两平面的相关位置 37

2.3.3 直线与平面的相关位置 37

2.3.4 空间两直线的相关位置 39

2.3.5 空间直线与点的相关位置 41

习题2.3 41

2.4 平面束 42

习题2.4 44

复习题二 44

第3章 常见曲面 47

3.1 空间曲面与曲线的方程 47

习题3.1 49

3.2 柱面 49

3.2.1 柱面的定义 49

3.2.2 柱面的方程 49

3.2.3 空间曲线的射影柱面 51

习题3.2 52

3.3 锥面 52

3.3.1 锥面的定义 52

3.3.2 锥面的方程 53

习题3.3 55

3.4 旋转曲面 55

3.4.1 旋转曲面的定义 55

3.4.2 旋转曲面的方程 56

习题3.4 59

3.5 椭球面 60

3.5.1 讨论二次曲面的基本方法 60

3.5.2 椭球面的定义 60

3.5.3 椭球面的形状和简单性质 61

习题3.5 62

3.6 双曲面 63

3.6.1 单叶双曲面的定义 63

3.6.2 单叶双曲面的形状和性质 63

3.6.3 双叶双曲线的定义 65

3.6.4 双叶双曲面的形状和性质 65

3.6.5 双曲面的渐近锥面 67

习题3.6 68

3.7 抛物面 68

3.7.1 椭圆抛物面的定义 68

3.7.2 椭圆抛物面的形状和性质 69

3.7.3 双曲抛物面的定义 70

3.7.4 双曲抛物面的形状和性质 70

3.7.5 一般二次方程的化简 71

习题3.7 73

3.8 直纹二次曲面 73

3.8.1 直纹曲面的定义 73

3.8.2 单叶双曲面的直纹性 74

3.8.3 双曲抛物面的直纹性 76

3.8.4 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线性质 76

习题3.8 77

复习题三 78

第4章 仿射坐标与仿射平面 80

4.1 透视仿射与仿射对应 80

4.1.1 直线间的仿射对应 80

4.1.2 平面间的仿射对应 80

4.1.3 共线三点的单比 81

4.1.4 仿射不变性与不变量 81

习题4.1 82

4.2 仿射坐标系 82

4.2.1 仿射坐标系 82

4.2.2 仿射变换的代数表示 83

4.2.3 特殊的仿射变换 86

习题4.2 88

复习题四 88

第5章 射影平面 90

5.1 中心射影与无穷远元素 90

5.1.1 中心射影 90

5.1.2 无穷远元素 90

习题5.1 92

5.2 图形的射影性质，德萨格定理 93

5.2.1 射影性质 93

5.2.2 德萨格定理 93

习题5.2 94

5.3 齐次坐标 95

5.3.1 点的齐次坐标 95

5.3.2 直线方程 95

5.3.3 齐次线坐标 96

习题5.3 97

5.4 对偶原理 98

习题5.4 100

5.5 复元素 101

5.5.1 二维空间的复元素 101

5.5.2 共轭复元素 101

5.5.3 几个结论 101

习题5.5 102

复习题五 102

第6章 射影变换与射影坐标 103

6.1 交比 103

6.1.1 点列中四点的交比 103

6.1.2 线束中四直线的交比 106

习题6.1 110

6.2 完全四点形与完全四线形的调和性 110

6.2.1 关于调和性的几个命题 110

6.2.2 调和性应用举例 111

习题6.2 112

6.3 一维基本形的射影对应 112

6.3.1 一维基本形的透视对应 112

6.3.2 一维基本形的射影对应 113

6.3.3 一维基本形的射影变换 115

习题6.3 116

6.4 一维射影坐标 117

6.4.1 直线上的射影坐标系 117

6.4.2 一维射影对应的代数表示 119

6.4.3 一维射影变换的分类 121

习题6.4 122

6.5 二维射影变换与二维射影坐标 123

6.5.1 二维射影变换 123

6.5.2 二维射影坐标 123

6.5.3 二维射影对应的坐标表示 125

习题6.5 127

复习题六 128

第7章 变换群与几何学 130

7.1 变换群 130

7.1.1 群与变换群的概念 130

7.1.2 平面上几个重要的变换群 131

习题7.1 134

7.2 变换群与几何学 134

7.2.1 Klein的变换群观点 134

7.2.2 射影、仿射和欧氏三种几何学的比较 135

习题7.2 136

复习题七 136

第8章 二次曲线的射影理论与仿射理论 138

8.1 二次曲线的射影定义 138

8.1.1 二次曲线的射影定义 138

8.1.2 二阶曲线的切线与二级曲线的切点 141

8.1.3 二阶曲线与二级曲线的关系 143

习题8.1 145

8.2 Pascal定理和Brianchon定理 145

8.2.1 帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理 145

8.2.2 帕斯卡（Pascal）定理的极限形式 147

习题8.2 149

8.3 极点与极线，配极原则 149

8.3.1 极点与极线 149

8.3.2 配极原则 151

8.3.3 配极变换 152

习题8.3 153

8.4 二次曲线的射影分类 153

8.4.1 二阶曲线的奇异点 153

8.4.2 二阶曲线的射影分类 154

习题8.4 156

8.5 二次曲线的仿射理论 156

8.5.1 二阶曲线与无穷远直线的相关位置 156

8.5.2 二阶曲线的中心 157

8.5.3 直径与共轭直径 157

习题8.5 162

8.6 二次曲线的仿射分类 162

8.6.1 当det（aij）≠0时，即（aij）的秩是3 163

8.6.2 det（aij）=0，秩（aij）=2，二阶曲线为退化的二阶曲线，且只有一个奇异点 163

8.6.3 当秩（aij）=1时，二次曲线是退化的，且有无穷多奇异点在一直线上 164

习题8.6 166

复习题八 166

参考文献 168

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