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第8章 空间解析几何与向量代数 1

8.1 空间直角坐标系与空间点的坐标 1

习题8.1 4

8.2 向量及其运算 4

8.2.1 向量的基本概念 4

8.2.2 向量的加减运算 5

8.2.3 向量与数的乘积 7

8.2.4 向量的数量积 9

8.2.5 向量的向量积 10

习题8.2 12

8.3 向量的坐标 13

8.3.1 向量的坐标表示 13

8.3.2 向量的模与方向余弦 14

8.3.3 向量运算的坐标表示 15

习题8.3 19

8.4 空间平面与直线的方程 20

8.4.1 平面方程 20

8.4.2 空间直线的方程 25

习题8.4 32

8.5 空间的曲面与曲线 33

8.5.1 几个典型曲面的例子 34

8.5.2 二次曲面简介 38

8.5.3 空间曲线 40

习题8.5 44

第9章 多元函数微分学 46

9.1 多元函数的极限与连续 46

9.1.1 多元函数的概念 46

9.1.2 平面点集的一些概念 49

9.1.3 多元函数的极限 50

9.1.4 多元函数的连续性 54

习题9.1 56

9.2 偏导数 57

9.2.1 偏导数的定义与计算 57

9.2.2 高阶偏导数 60

习题9.2 63

9.3 全微分 64

9.3.1 全微分的定义与计算 64

9.3.2 全微分在近似计算中的应用 68

习题9.3 70

9.4 多元复合函数微分法 70

9.4.1 多元复合函数的链式法则 70

9.4.2 全微分形式不变性 76

习题9.4 77

9.5 隐函数微分法 78

9.5.1 一个方程的情形 78

9.5.2 方程组的情形 81

习题9.5 86

9.6 微分法在几何上的应用 87

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 87

9.6.2 曲面的切平面与法线 89

习题9.6 92

9.7 方向导数与梯度 93

9.7.1 方向导数 93

9.7.2 梯度 97

习题9.7 100

9.8 多元函数的极值 101

9.8.1 极值存在的必要条件与充分条件 101

9.8.2 最大值与最小值问题 103

9.8.3 条件极值 105

习题9.8 109

9.9 二元函数的泰勒公式 110

9.9.1 二元函数的泰勒公式 110

9.9.2 二元函数极值充分条件的证明 114

习题9.9 115

9.10 最小二乘法 116

习题9.10 119

第10章 重积分 120

10.1 二重积分的定义及性质 120

10.1.1 曲顶柱体体积的计算 120

10.1.2 平面薄片质量的问题 121

10.1.3 二重积分的定义 122

10.1.4 二重积分的简单性质 123

习题10.1 125

10.2 二重积分的计算 125

习题10.2 132

10.3 二重积分的换元法 133

10.3.1 一般换元公式 133

10.3.2 二重积分在极坐标系下的计算 135

习题10.3 143

10.4 二重积分的应用 145

10.4.1 二重积分的微元法 145

10.4.2 曲面的面积 145

10.4.3 平面薄片的重心 147

10.4.4 平面薄片的转动惯量 149

10.4.5 平面薄片对质点的引力 150

习题10.4 151

10.5 三重积分的概念与计算 152

10.5.1 三重积分的定义 152

10.5.2 利用直角坐标计算三重积分 152

习题10.5 158

10.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 159

10.6.1 三重积分的换元法 159

10.6.2 利用柱面坐标计算三重积分 161

10.6.3 利用球面坐标计算三重积分 163

习题10.6 166

第11章 曲线积分与曲面积分 168

11.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 168

11.1.1 曲线形物体的质量 168

11.1.2 对弧长的曲线积分的定义 169

11.1.3 对弧长的曲线积分的性质 170

11.1.4 对弧长的曲线积分的计算 170

11.1.5 对弧长的曲线积分的几何应用与物理应用 173

习题11.1 174

11.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） 174

11.2.1 变力沿曲线所做的功 174

11.2.2 对坐标的曲线积分的定义 175

11.2.3 对坐标的曲线积分的性质 177

11.2.4 对坐标的曲线积分的计算 177

11.2.5 两类曲线积分之间的关系 181

习题11.2 182

11.3 格林公式 183

11.3.1 平面区域的分类与平面区域边界的定向 183

11.3.2 格林公式 184

11.3.3 格林公式的应用 186

11.3.4 曲线积分与路径无关问题 188

11.3.5 曲线积分与路径无关的条件 189

11.3.6 二元函数的全微分求积 191

习题11.3 194

11.4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 195

11.4.1 曲面形物体的质量 195

11.4.2 对面积的曲面积分的定义 196

11.4.3 对面积的曲面积分的计算 196

习题11.4 200

11.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） 201

11.5.1 流量问题 201

11.5.2 有向曲面及其在坐标面上的投影 202

11.5.3 对坐标的曲面积分的定义 203

11.5.4 对坐标的曲面积分的计算 204

11.5.5 两类曲面积分之间的关系 208

习题11.5 211

11.6 高斯公式 通量与散度 212

11.6.1 高斯公式 212

11.6.2 高斯公式的应用 213

11.6.3 高斯公式的物理意义 通量与散度 216

习题11.6 218

11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 219

11.7.1 斯托克斯公式 219

11.7.2 斯托克斯公式的简单应用 221

11.7.3 环流量与旋度 222

习题11.7 224

第12章 常微分方程 226

12.1 基本概念 226

12.1.1 实例 226

12.1.2 基本概念 228

习题12.1 231

12.2 变量可分离方程与齐次方程 231

12.2.1 变量可分离方程 232

12.2.2 齐次方程 234

习题12.2 238

12.3 一阶线性微分方程 239

12.3.1 一阶线性微分方程与常数变易法 239

12.3.2 伯努利方程 243

习题12.3 244

12.4 全微分方程 245

12.4.1 全微分方程 245

12.4.2 一阶微分方程综合例题 249

习题12.4 250

12.5 可降阶的高阶微分方程 251

习题12.5 255

12.6 高阶线性微分方程 255

习题12.6 262

12.7 常系数齐次线性微分方程 262

习题12.7 266

12.8 常系数非齐次线性微分方程 266

习题12.8 271

12.9 变系数线性方程 272

12.9.1 常数变易法 272

12.9.2 欧拉方程 275

习题12.9 276

12.10 微分方程的幂级数解法 276

习题12.10 279

12.11 常系数线性微分方程组 279

习题12.11 281

12.12 常微分方程应用举例 282

习题12.12 293

12.13 常微分方程初值问题的数值解法 294

习题12.13 297

习题参考答案与提示 298

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