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第1章 函数 1

1.1 函数的基本概念 1

1.1.1 实数集 1

1.1.2 绝对值、邻域 3

1.1.3 函数的定义 4

习题1-1 7

1.2 初等函数 7

1.2.1 复合函数 7

1.2.2 反函数 8

1.2.3 初等函数 9

习题1-2 9

1.3 几种特殊类型的函数 9

1.3.1 单调函数 9

1.3.2 有界函数 11

1.3.3 奇函数与偶函数 11

1.3.4 周期函数 11

1.3.5 分段函数和由参数方程表示的函数 13

习题1-3 14

复习题1（A） 15

复习题1（B） 16

第2章 极限与连续 17

2.1 极限的概念 17

2.1.1 数列的极限 17

2.1.2 x→∞时函数的极限 22

2.1.3 x→x0时函数的极限 24

2.1.4 函数极限的性质 26

2.1.5 极限的运算法则 29

习题2-1 33

2.2 极限存在的判别法 33

2.2.1 两边夹法则 34

2.2.2 单调有界原理 36

2.2.3 柯西收敛准则 38

习题2-2 39

2.3 无穷大量与无穷小量 40

2.3.1 无穷大量 40

2.3.2 无穷小量 41

2.3.3 无穷小量阶的比较 42

习题2-3 43

2.4 连续函数 43

2.4.1 连续函数的概念 43

2.4.2 连续函数的运算 44

2.4.3 初等函数的连续性 45

2.4.4 间断点的分类 46

2.4.5 闭区间上连续函数的性质 47

习题2-4 48

复习题2（A） 48

复习题2（B） 49

第3章 导数与微分 51

3.1 导数的概念 51

3.1.1 两个实例 51

3.1.2 导数的定义 53

习题3-1 57

3.2 求导法则 57

3.2.1 导数的四则运算 58

3.2.2 复合函数的导数 61

3.2.3 反函数的导数 63

3.2.4 导数的基本公式 65

3.2.5 高阶导数 66

习题3-2 68

3.3 隐函数导数与参数方程确定的函数导数 69

3.3.1 隐函数的导数 69

3.3.2 参数方程所确定函数的导数 72

习题3-3 74

3.4 微分 75

3.4.1 微分的概念 75

3.4.2 微分的运算 76

3.4.3 函数的近似计算 78

习题3-4 79

复习题3（A） 80

复习题3（B） 81

第4章 导数应用 82

4.1 微分中值定理 82

4.1.1 罗尔中值定理 82

4.1.2 拉格朗日中值定理与柯西中值定理 83

习题4-1 85

4.2 洛必达法则 86

4.2.1 ？型未定式 86

4.2.2 ？型未定式 88

4.2.3 其他形式的未定式 89

习题4-2 90

4.3 泰勒公式 90

4.3.1 泰勒多项式 91

4.3.2 泰勒公式及其余项 92

4.3.3 常用函数泰勒展开式 94

习题4-3 96

4.4 函数单调性、曲线凸向和函数极值的判定 96

4.4.1 函数单调性的判定 96

4.4.2 曲线的凸向 97

4.4.3 函数极值的判定 99

4.4.4 函数的最大值与最小值 101

习题4-4 103

4.5 函数作图 104

4.5.1 曲线的渐近线 104

4.5.2 函数作图举例 106

习题4-5 108

4.6 曲率 108

4.6.1 曲率的概念 108

4.6.2 弧长的微分 109

4.6.3 曲率的计算 109

习题4-6 111

复习题4（A） 111

复习题4（B） 112

第5章 不定积分 113

5.1 不定积分的概念 113

5.1.1 不定积分的定义 113

5.1.2 不定积分的基本公式 114

5.1.3 不定积分的性质 115

习题5-1 117

5.2 换元积分法和分部积分法 118

5.2.1 换元积分法 118

5.2.2 分部积分法 124

习题5-2 127

5.3 有理函数积分法 129

5.3.1 分式的分项 129

5.3.2 有理函数的不定积分 131

5.3.3 可化为有理函数积分的两种类型 133

习题5-3 135

复习题5（A） 136

复习题5（B） 137

第6章 定积分 139

6.1 定积分的概念 139

6.1.1 定积分的定义 139

6.1.2 定积分的性质 142

习题6-1 145

6.2 定积分的计算 146

6.2.1 根据定义计算定积分 146

6.2.2 微积分学基本定理 147

6.2.3 定积分的换元积分法 151

6.2.4 定积分的分部积分法 153

6.2.5 定积分的近似计算 155

习题6-2 157

6.3 广义积分 159

6.3.1 无穷积分 159

6.3.2 瑕积分 161

6.3.3 广义积分的性质 162

习题6-3 164

复习题6（A） 164

复习题6（B） 166

第7章 定积分应用 168

7.1 平面图形的面积 168

7.1.1 直角坐标系下平面图形的面积问题 168

7.1.2 极坐标系下的面积问题 170

习题7-1 172

7.2 平面曲线的弧长 172

7.2.1 利用直角坐标计算弧长 172

7.2.2 根据参数方程计算弧长 173

7.2.3 利用极坐标计算弧长 174

习题7-2 174

7.3 体积与表面积 175

7.3.1 已知平行截面积的立体体积 175

7.3.2 旋转体体积 175

7.3.3 旋转面的面积 176

习题7-3 177

7.4 物理应用举例 177

习题7-4 178

复习题7 179

第8章 常微分方程 180

8.1 常微分方程的基本概念 180

8.1.1 微分方程的定义 180

8.1.2 常微分方程的解 181

习题8-1 183

8.2 一阶常微分方程 184

8.2.1 可分离变量常微分方程 184

8.2.2 一阶线性常微分方程 187

8.2.3 齐次微分方程 189

习题8-2 190

8.3 几种特殊类型的二阶常微分方程 191

8.3.1 不显含未知函数及其一阶导数的二阶常微分方程 191

8.3.2 不显含未知函数的二阶常微分方程 192

8.3.3 不显含自变量的二阶常微分方程 194

习题8-3 195

8.4 二阶常系数线性常微分方程 195

8.4.1 线性常微分方程解的结构 195

8.4.2 二阶线性常系数齐次常微分方程的通解 197

8.4.3 二阶线性常系数非齐次常微分方程的通解 199

习题8-4 203

8.5 差分方程 204

8.5.1 差分方程的概念 204

8.5.2 一阶线性差分方程 206

8.5.3 二阶常系数线性差分方程 208

习题8-5 213

复习题8（A） 213

复习题8（B） 215

附录1 不定积分表 216

附录2 常用平面曲线 224

上册参考答案 226

参考文献 243

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