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第34章 19世纪的数论 813

1.引言 813

2.同余理论 813

3.代数数 818

4.戴德金的理想 822

5.型的理论 826

6.解析数论 829

第35章 射影几何学的复兴 834

1.对几何学的兴趣的恢复 834

2.综合的欧几里得几何学 837

3.综合的射影几何学的复兴 840

4.代数的射影几何学 852

5.高次平面曲线和高次曲面 855

第36章 非欧几里得几何 861

1.引言 861

2.1800年左右欧几里得几何的情况 861

3.平行公理的研究 863

4.非欧几里得几何的先兆 867

5.非欧几里得几何的诞生 869

6.非欧几里得几何的技术性内容 874

7.罗巴切夫斯基与约翰·波尔约发明先后的争议 877

8.非欧几里得几何的重要意义 879

第37章 高斯和黎曼的微分几何 882

1.引言 882

2.高斯的微分几何 882

3.黎曼研究几何的途径 889

4.黎曼的继承者 896

5.微分形式的不变量 899

第38章 射影几何与度量几何 904

1.引言 904

2.作为非欧几里得几何模型的曲面 904

3.射影几何与度量几何 906

4.模型与相容性问题 913

5.从变换观点来看待几何 917

6.非欧几里得几何的现实 921

第39章 代数几何 924

1.背景 924

2.代数不变量理论 925

3.双有理变换概念 932

4.代数几何的函数理论法 934

5.单值化问题 937

6.代数几何方法 939

7.算术方法 942

8.曲面的代数几何 943

第40章 分析中注入严密性 947

1.引言 947

2.函数及其性质 949

3.导数 954

4.积分 956

5.无穷级数 961

6.傅里叶级数 966

7.分析的状况 972

第41章 实数和超限数的基础 979

1.引言 979

2.代数数与超越数 980

3.无理数的理论 982

4.有理数的理论 987

5.实数系的其他处理 990

6.无穷集合的概念 992

7.集合论的基础 994

8.超限基数与超限序数 998

9.集合论在20世纪初的状况 1002

第42章 几何基础 1005

1.欧几里得中的缺陷 1005

2.对射影几何学基础的贡献 1007

3.欧几里得几何的基础 1010

4.一些有关的基础工作 1015

5.一些未解决的问题 1017

第43章 19世纪的数学 1023

1.19世纪发展的主要特征 1023

2.公理化运动 1026

3.作为人的创造物的数学 1028

4.真理的丧失 1032

5.作为研究任意结构的数学 1036

6.相容性问题 1038

7.向前的一瞥 1039

第44章 实变函数论 1040

1.起源 1040

2.斯蒂尔切斯积分 1041

3.有关容量和测度的早期工作 1041

4.勒贝格积分 1044

5.推广 1050

第45章 积分方程 1052

1.引言 1052

2.一般理论的开始 1056

3.希尔伯特的工作 1060

4.希尔伯特的直接继承者 1070

5.理论的推广 1073

第46章 泛函分析 1076

1.泛函分析的性质 1076

2.泛函的理论 1077

3.线性泛函分析 1081

4.希尔伯特空间的公理化 1091

第47章 发散级数 1096

1.引言 1096

2.发散级数的非正式应用 1098

3.渐近级数的正式理论 1103

4.可和性 1109

第48章 张量分析和微分几何 1122

1.张量分析的起源 1122

2.张量的概念 1123

3.协变微分 1127

4.平行位移 1130

5.黎曼几何的推广 1133

第49章 抽象代数的出现 1136

1.19世纪历史背景 1136

2.抽象群论 1137

3.域的抽象理论 1146

4.环 1150

5.非结合代数 1153

6.抽象代数的范围 1156

第50章 拓扑的开始 1158

1.拓扑是什么 1158

2.点集拓扑 1159

3.组合拓扑的开始 1163

4.庞加莱在组合拓扑方面的工作 1170

5.组合不变量 1176

6.不动点定理 1177

7.定理的推广和领域的扩展 1179

第51章 数学基础 1182

1.引言 1182

2.集合论的悖论 1183

3.集合论的公理化 1185

4.数理逻辑的兴起 1187

5.逻辑派 1192

6.直观派 1197

7.形式派 1203

8.一些新近的发展 1208

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