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第一部分 高等数学 3

第一章 函数、极限与连续 3

1 知识要点精讲 3

2 重要公式与结论 17

3 典型题型与例题分析 19

题型一 函数关系的建立 19

题型二 考查函数的特性 21

题型三 求函数极限 22

题型四 求数列极限 31

题型五 求解含参变量的极限 37

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数 38

题型七 无穷小比较 40

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型 41

题型九 确定方程f（x）=0的根 43

题型十 综合题 44

习题精选一 46

习题精选一参考答案 48

第二章 导数与微分 49

1 知识要点精讲 49

2 重要公式与结论 56

3 典型题型与例题分析 57

题型一 利用导数定义解题 57

题型二 求分段函数的导数 61

题型三 导数在几何上的应用 63

题型四 变限积分求导 66

题型五 利用导数公式与运算法则求导 69

题型六 综合题 72

习题精选二 74

习题精选二参考答案 76

第三章 微分中值定理与导数的应用 77

1 知识要点精讲 77

2 典型题型与例题分析 87

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）=0 87

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）=0（n=1，2，…） 89

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ），…）=0 91

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明 95

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f′（ξ），f′（η），…）=0 97

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）=k（k≠0） 99

题型七 有关介值的不等式证明 100

题型八 隐含介值问题 101

题型九 不等式的证明 104

题型十 利用导数证明函数恒等式 115

题型十一 利用导数判别函数的单调性 116

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值 117

题型十三 曲线的凹凸性与拐点 118

题型十四 求曲线的渐近线 119

题型十五 函数作图 120

题型十六 求曲率与曲率半径 121

题型十七 综合题 122

习题精选三 124

习题精选三参考答案 126

第四章 一元函数积分学 127

1 知识要点精讲 127

2 重要公式与结论 148

3 典型题型与例题分析 149

题型一 计算不定积分 149

题型二 不定积分综合题 153

题型三 有关定积分的概念与性质的问题 158

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分 160

题型五 对称区间上的积分 164

题型六 涉及变限积分的问题 165

题型七 定积分循环计算法 170

题型八 几类特殊积分问题 171

题型九 反常（广义）积分的计算 174

题型十 定积分等式的证明 178

题型十一 定积分不等式的证明 180

题型十二 定积分的几何（物理）应用 183

题型十三 综合题 188

习题精选四 193

习题精选四参考答案 195

第五章 向量代数与空间解析几何 196

1 知识要点精讲及主要公式与结论 196

2 典型题型与例题分析 202

题型一 与向量代数有关的计算问题 202

题型二 求平面与直线方程 202

题型三 讨论平面与直线的位置关系 205

题型四 求对称点、投影点及投影曲线 206

题型五 综合题 207

习题精选五 208

习题精选五参考答案 209

第六章 多元函数微分学 210

1 知识要点精讲及主要公式与结论 210

2 典型题型与例题分析 219

题型一 基本概念题 219

题型二 求复合函数的偏导数或全微分 221

题型三 求隐函数的偏导数或全微分 223

题型四 已知偏导数，反求函数关系 226

题型五 多元函数的极值和最值问题 227

题型六 求多元函数的梯度或方向导数 232

题型七 多元函数微分学的几何应用 232

题型八 综合题 234

习题精选六 236

习题精选六参考答案 237

第七章 重积分 239

1 知识要点精讲 239

2 重要公式与结论 246

3 典型题型与例题分析 247

题型一 考查二重积分的基本概念与性质 247

题型二 二重积分的基本计算方法 248

题型三 利用重积分的对称性简化计算 251

题型四 交换积分次序 253

题型五 分区域函数的二重积分 254

题型六 反常（广义）二重积分 256

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域） 257

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域） 257

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形） 257

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形） 258

题型十一 综合题 258

习题精选七 262

习题精选七参考答案 264

第八章 曲线、曲面积分 265

1 知识要点精讲 265

2 重要公式与结论 273

3 典型题型与例题分析 274

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法 274

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法 275

题型三 对面积的曲面积分的计算方法 280

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法 282

题型五 求曲面的面积 286

题型六 求向量场的散度及旋度 288

题型七 综合题 288

习题精选八 291

习题精选八参考答案 293

第九章 无穷级数 295

1 知识要点精讲 295

2 重要公式与结论 303

3 典型题型与例题分析 304

题型一 判定常数项级数的收敛性 304

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间 307

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数 308

题型四 幂级数的展开 310

题型五 傅里叶级数的展开 311

题型六 综合题 313

习题精选九 315

习题精选九参考答案 317

第十章 常微分方程 318

1 知识要点精讲 318

2 基本方法 328

3 典型题型与例题分析 329

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解 329

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解 332

题型三 可降阶的高阶微分方程 333

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解 335

题型五 综合题与应用题 338

习题精选十 343

习题精选十参考答案 345

第二部分 线性代数 349

第一章 行列式 349

1 知识要点精讲 349

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 353

3 典型题型与例题分析 356

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式 356

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式 357

题型三 利用多项式分解因式计算行列式 358

题型四 抽象行列式的计算或证明 359

题型五 n阶行列式的计算 361

题型六 利用特征值计算行列式 366

题型七 综合题 367

习题精选一 370

习题精选一参考答案 371

第二章 矩阵 372

1 知识要点精讲 372

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 381

3 典型题型与例题分析 384

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵 384

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性 387

题型三 考查矩阵运算的特殊性 388

题型四 解矩阵方程 390

题型五 求方阵A的高次幂An 393

题型六 利用伴随矩阵An进行计算或证明 394

题型七 有关初等矩阵的问题 396

题型八 求矩阵的秩 397

题型九 综合题 400

习题精选二 402

习题精选二参考答案 404

第三章 向量 406

1 知识要点精讲 406

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 417

3 典型题型与例题分析 419

题型一 判定向量组的线性相关性 419

题型二 把一个向量用一组向量线性表示 425

题型三 求向量组的秩 431

题型四 有关矩阵秩的命题 434

题型五 有关向量空间的基本概念题 435

题型六 综合题 436

习题精选三 438

习题精选三参考答案 440

第四章 线性方程组 442

1 知识要点精讲 442

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 447

3 典型题型与例题分析 449

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 449

题型二 含有参数的线性方程组的求解 451

题型三 抽象线性方程组求解 459

题型四 讨论两个方程组的公共解 461

题型五 讨论两个方程组解之间的关系 465

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数 467

题型七 有关基础解系的讨论 468

题型八 有关AB=0的应用 472

题型九 综合题 473

习题精选四 481

习题精选四参考答案 483

第五章 特征值与特征向量 485

1 知识要点精讲 485

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 491

3 典型题型与例题分析 493

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算 493

题型二 计算抽象矩阵的特征值 495

题型三 特征值、特征向量的逆问题 499

题型四 矩形相似与对角化的讨论 503

题型五 有关实对称矩阵的命题 509

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题 511

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题 516

题型八 综合题 518

习题精选五 523

习题精选五参考答案 526

第六章 二次型 528

1 知识要点精讲 528

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 535

3 典型题型与例题分析 536

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数） 536

题型二 化二次型为标准形 537

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明 544

题型四 综合题 548

习题精选六 551

习题精选六参考答案 553

第三部分 概率论与数理统计 557

第一章 随机事件与概率 557

1 知识要点精讲 557

2 补充注释与重要结论 562

3 典型题型与例题分析 565

题型一 事件的表示和运算 565

题型二 有关概率基本性质的命题 566

题型三 古典概型与几何概型的概率计算 569

题型四 事件独立性的命题 573

题型五 条件概率与积事件概率的计算 575

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型 579

题型七 伯努利试验 582

题型八 综合题 583

习题精选一 586

习题精选一参考答案 588

第二章 随机变量及其分布 589

1 知识要点精讲 589

2 补充注释与重要结论 592

3 典型题型与例题分析 595

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题 595

题型二 求随机变量的分布律与分布函数 599

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数 605

题型四 利用常见分布求相关事件的概率 607

题型五 求随机变量函数的分布 608

题型六 综合题 614

习题精选二 616

习题精选二参考答案 618

第三章 多维随机变量及其分布 619

1 知识要点精讲 619

2 补充注释与重要结论 624

3 典型题型与例题分析 626

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算 626

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数 634

题型三 利用已知分布求相关事件的概率 635

题型四 随机变量函数的分布 637

题型五 随机变量的独立性的讨论 644

题型六 综合题 645

习题精选三 647

习题精选三参考答案 649

第四章 随机变量的数字特征 651

1 知识要点精讲 651

2 补充注释与重要结论 654

3 典型题型与例题分析 655

题型一 期望和方差的计算 655

题型二 随机变量函数的数学期望与方差 659

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题 666

题型四 有关数字特征的应用题 671

题型五 综合题 674

习题精选四 676

习题精选四参考答案 678

第五章 大数定律和中心极限定理 679

1 知识要点精讲 679

2 典型题型与例题分析 681

题型一 有关切比雪夫不等式的命题 681

题型二 有关大数定律的命题 683

题型三 有关中心极限定理的命题 684

题型四 综合题 688

习题精选五 689

习题精选五参考答案 690

第六章 数理统计的基本概念 692

1 知识要点精讲 692

2 补充注释与重要结论 698

3 典型题型与例题分析 699

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差S2有关的概率 699

题型二 求统计量的数字特征 700

题型三 求统计量的分布 703

习题精选六 705

习题精选六参考答案 706

第七章 参数估计 707

1 知识要点精讲 707

2 补充注释与重要结论 710

3 典型题型与例题分析 711

题型一 求矩法估计和最大似然估计 711

题型二 估计量评选标准的讨论 718

题型三 参数的区间估计 722

题型四 综合题 724

习题精选七 725

习题精选七参考答案 727

第八章 假设检验 728

1 知识要点精讲 728

2 补充注释与重要结论 730

3 典型题型与例题分析 730

题型一 正态总体未知参数的假设检验 730

题型二 有关两类错误的命题 731

习题精选八 733

习题精选八参考答案 734

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