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第一章 函数与极限 1

第一节 变量与函数 2

一、实数及其性质 2

二、数轴、集合、区间、邻域 3

三、函数及其图形 6

四、几类重要的分段函数 9

五、函数的几种特性 11

六、反函数 13

七、函数的四则运算法则与复合函数 13

八、初等函数与双曲函数 15

习题1-1 17

第二节 数列的极限 19

一、数列极限的定义 19

二、收敛数列的性质 24

三、收敛数列的四则运算 26

四、数列极限存在的判别准则 28

五、子数列的收敛性 32

六、重要极限 32

习题1-2 34

第三节 函数的极限 35

一、自变量趋于有限值时函数的极限 36

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 38

三、单侧极限 40

四、函数极限的性质 42

五、无穷小量与无穷大量 44

六、函数极限与数列极限的关系 49

习题1-3 51

第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限 52

一、函数极限的四则运算 52

二、复合函数的极限运算 56

习题1-4 57

第五节 重要极限 无穷小的比较 58

一、函数极限存在准则 58

二、两个重要极限 59

三、无穷小阶的比较 63

习题1-5 66

第六节 函数的连续性与间断点 68

一、函数的连续性概念 68

二、连续函数的运算法则 71

三、函数的间断点及其分类 74

四、闭区间上连续函数的性质 76

习题1-6 83

第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用 85

一、Mathematica基础知识 85

二、Mathematica在函数、极限中的应用 93

本章小结 97

总习题一 103

第二章 导数与微分 106

第一节 导数的概念 107

一、引例 107

二、导数的定义 109

三、导函数 112

四、导数的几何意义 114

五、函数的可导性与连续性的关系 115

六、导数在其他学科中的含义——变化率 117

习题2-1 117

第二节 微分的概念 119

一、微分的定义 120

二、微分的几何意义 123

三、利用微分进行近似计算 123

习题2-2 126

第三节 函数的微分法 127

一、函数和、差、积、商的导数与微分法则 127

二、复合函数的微分法 130

三、反函数的微分法 133

四、初等函数的微分 135

习题2-3 138

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 141

一、隐函数求导 141

二、对数求导法 143

三、参数方程确定的函数的导数 146

四、相关变化率 149

习题2-4 150

第五节 高阶导数与高阶微分 152

一、高阶导数 152

二、高阶求导法则 155

三、高阶微分 158

习题2-5 159

第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算 161

一、基本命令 161

二、实验举例 162

第七节 几种常用的曲线 163

本章小结 167

总习题二 169

第三章 微分中值定理与导数的应用 172

第一节 微分中值定理 172

一、罗尔定理 173

二、拉格朗日中值定理 175

三、柯西中值定理 179

习题3-1 181

第二节 洛必达法则 182

一、0/0型未定式 183

二、∞/∞型未定式 185

三、其他类型的未定式 185

习题3-2 190

第三节 泰勒公式 191

习题3-3 199

第四节 函数的单调性与极值判定 200

一、函数的单调性及其判定 200

二、函数的极值及其判定 204

三、最大值和最小值问题 209

习题3-4 214

第五节 曲线的凹凸性与拐点 217

习题3-5 221

第六节 函数图形的描绘 222

一、曲线的渐近线 222

二、函数的作图 225

习题3-6 229

第七节 曲率 229

一、曲率 229

二、曲率圆与曲率半径 235

三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 237

习题3-7 239

第八节 Mathematica在导数中的应用 240

一、基本命令 240

二、实验举例 240

本章小结 242

总习题三 247

第四章 一元函数积分学及其应用 250

第一节 定积分的概念 251

一、定积分问题举例 251

二、定积分定义 253

三、定积分的存在性 256

习题4-1 258

第二节 定积分的性质 259

一、定积分的基本性质 259

二、积分中值定理 262

习题4-2 265

第三节 微积分基本公式与基本定理 266

一、微积分基本公式 266

二、微积分基本定理 268

习题4-3 274

第四节 不定积分的基本积分法 276

一、不定积分概念与性质 277

二、基本积分表 278

三、换元积分法 280

四、分部积分法 293

习题4-4 298

第五节 有理函数的积分 301

一、有理函数的积分 301

二、可化为有理函数的积分 305

习题4-5 311

第六节 定积分的计算法 312

习题4-6 317

第七节 定积分的应用 319

一、定积分的元素法 320

二、定积分在几何学中的应用 322

三、定积分在物理学中的应用 334

习题4-7 338

第八节 反常积分 342

一、问题提出 342

二、无穷限的反常积分 343

三、无界函数的反常积分 346

四、反常积分的审敛法 349

五、Г函数 355

习题4-8 357

第九节 Mathematica在一元积分学中的应用 359

一、不定积分的计算 359

二、定积分的计算 361

三、定积分的应用 362

本章小结 363

总习题四 374

第五章 无穷级数 379

第一节 常数项级数的概念与性质 380

一、常数项级数的概念 380

二、收敛级数的基本性质 383

三、柯西收敛原理 386

习题5-1 387

第二节 常数项级数的审敛法 388

一、正项级数及其审敛法 388

二、交错级数及其审敛法 395

三、绝对收敛与条件收敛 397

习题5-2 403

第三节 幂级数 405

一、函数项级数的概念 405

二、幂级数及其收敛性 406

三、幂级数的运算 411

四、和函数的性质 412

习题5-3 415

第四节 函数展开成幂级数及其应用 416

一、泰勒级数 416

二、函数展开成幂级数 418

三、函数幂级数展开式的应用 426

习题5-4 433

第五节 傅里叶级数 433

一、问题的提出 433

二、三角函数系的正交性 436

三、函数展开成傅里叶级数 437

四、正弦级数与余弦级数 441

五、定义在有限区间[a， b]上的函数展开成傅里叶级数 443

六、定义在区间[0， l]上的函数展开成正弦级数或余弦级数 445

七、傅里叶级数的复数形式 447

习题5-5 449

第六节 Mathematica在级数中的应用 450

一、基本命令 450

二、实验举例 451

本章小结 453

总习题五 459

部分习题答案与提示 462

参考文献 485

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