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上篇 3

第一章 函数的极限与连续 3

第一节 函数 3

一、函数的概念 3

二、函数的几种特性 6

三、初等函数 7

习题1-1 10

第二节 函数的极限 11

一、x→∞时函数的极限 11

二、x→x0时函数的极限 14

三、极限的性质 16

习题1-2 17

第三节 数列的极限 17

习题1-3 19

第四节 无穷小与无穷大 19

一、无穷小 19

二、无穷大 22

三、无穷小的比较 22

习题1-4 23

第五节 极限的运算法则 24

习题1-5 26

第六节 两个重要极限 27

一、重要极限？＝1 27

二、重要极限？＝e 29

习题1-6 32

第七节 函数的连续性与间断点 32

一、函数的连续性 32

二、函数的间断点 34

习题1-7 36

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 36

一、连续函数的运算 36

二、初等函数的连续性 37

习题1-8 39

第九节 闭区间上连续函数的性质 39

习题1-9 41

第二章　导数与微分 42

第一节 导数的概念 42

一、引例 42

二、导数的定义 43

三、求导数举例 45

四、导数的几何意义 46

五、函数的可导性与连续性的关系 47

习题2-1 48

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 49

习题2-2 51

第三节 反函数和复合函数的导数 初等函数的导数 51

一、反函数的导数 51

二、复合函数的导数 53

三、初等函数的导数 54

习题2-3 55

第四节 高阶导数 56

习题2-4 57

第五节 函数的微分 57

一、微分的概念 57

二、微分的几何意义 61

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 61

习题2-5 63

第六节 微分在近似计算中的应用 63

习题2-6 65

第七节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 65

一、隐函数的导数 65

二、由参数方程所确定的函数的导数 67

习题2-7 68

第三章 中值定理与导数的应用 69

第一节 中值定理 69

一、罗尔定理 69

二、拉格朗日中值定理 70

三、柯西中值定理 72

习题3-1 73

第二节 洛必塔法则 74

习题3-2 77

第三节 函数的单调性与极值 78

一、函数单调性的判定法 78

二、函数的极值及其求法 80

三、函数的最大值和最小值 84

习题3-3 86

第四节 曲线的凹凸与拐点 86

习题3-4 89

第五节 函数图形的描绘 89

一、曲线的渐近线 89

二、函数图形的描绘 90

习题3-5 92

第四章　不定积分 93

第一节 不定积分的概念与性质 93

一、原函数与不定积分的概念 93

二、基本积分公式 94

三、不定积分的性质 95

习题4-1 97

第二节 换元积分法 97

一、第一类换元法 98

二、第二类换元法 100

习题4-2 103

第三节 分部积分法 104

习题4-3 107

第四节 有理函数的积分 积分表的使用 107

一、有理函数的积分举例 107

二、积分表的使用 110

习题4-4 111

第五章　定积分 112

第一节 定积分的概念与性质 112

一、两个实例 112

二、定积分的概念 114

三、定积分的性质 116

四、定积分的几何意义 119

习题5-1 120

第二节 定积分与不定积分的关系 120

一、变上限的定积分及其微分 120

二、牛顿－莱布尼茨公式 122

习题5-2 123

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 124

一、定积分的换元积分法 124

二、定积分的分部积分法 127

习题5-3 128

第四节 广义积分 129

一、积分区间为无穷区间 129

二、被积函数有无穷间断点 131

习题5-4 134

第六章　定积分的应用 135

第一节 定积分的微元法 135

第二节 平面图形的面积 136

一、直角坐标情形 136

二、极坐标情形 138

习题6-2 139

第三节 截面面积函数为已知的立体的体积 140

习题6-3 142

第四节 平面曲线的弧长 142

习题6-4 143

第五节 定积分在物理上的某些应用 144

一、变力沿直线所做的功 144

二、液体的压力 145

习题6-5 146

下篇 149

第七章　微分方程 149

第一节 微分方程的基本概念 149

习题7-1 151

第二节 一阶微分方程 151

一、可分离变量的微分方程 152

二、齐次方程 153

三、一阶线性微分方程 155

习题7-2 159

第三节 可降阶的高阶微分方程 159

一、y(n)=f（x）型的微分方程 159

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 160

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 162

习题7-3 163

第四节 二阶常系数线性微分方程 164

一、二阶线性微分方程解的结构 164

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 166

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 168

习题7-4 172

第八章 向量代数与空间解析几何 174

第一节 向量的概念及其线性运算 174

一、空间直角坐标系 174

二、向量的概念及其线性运算 176

三、向量的坐标表示 178

习题8-1 183

第二节 两向量的数量积与向量积 183

一、两向量的数量积 183

二、两向量的向量积 186

习题8-2 188

第三节 平面和空间直线 188

一、平面 189

二、空间直线 193

习题8-3 197

第四节 曲面和空间曲线 198

一、曲面 198

二、空间曲线 202

三、几个常见的二次曲面 204

习题8-4 207

第九章 多元函数微分学 208

第一节 多元函数的概念 二元函数的极限与连续性 208

一、多元函数的概念 208

二、二元函数的极限与连续性 211

习题9-1 213

第二节 偏导数 214

一、偏导数的概念及其计算 214

二、高阶偏导数 217

习题9-2 219

第三节 全微分 219

一、全微分的概念 219

二、全微分在近似计算中的应用 221

习题9-3 222

第四节 多元函数求导法则 223

一、多元复合函数的求导法则 223

二、隐函数的求导法则 226

习题9-4 228

第五节 偏导数的几何应用 228

一、空间曲线的切线与法平面 228

二、曲面的切平面与法线 230

习题9-5 232

第六节 多元函数的极值和最值 232

一、多元函数的极值 232

二、多元函数的最值 234

三、条件极值 236

习题9-6 237

第十章　二重积分 238

第一节 二重积分的概念和性质 238

一、二重积分的概念 238

二、二重积分的性质 241

习题10-1 243

第二节 二重积分的计算 243

一、二重积分在直角坐标系中的计算法 243

二、二重积分在极坐标系中的计算法 250

习题10-2 253

第三节 二重积分的应用 254

一、二重积分在几何上的应用 254

二、二重积分在物理上的应用 259

三、二重积分的其他应用 262

习题10-3 264

第十一章　无穷级数 266

第一节 常数项级数的概念及其性质 266

一、常数项级数的基本概念 266

二、常数项级数的性质 269

习题11-1 271

第二节 常数项级数的审敛法 271

一、正项级数及其审敛法 271

二、任意项级数 275

习题11-2 278

第三节 幂级数 279

一、函数项级数的概念 279

二、幂级数及其收敛性 280

三、幂级数的运算 284

习题11-3 285

第四节 函数展开成幂级数 286

一、泰勒级数 286

二、函数展开成幂级数 289

三、幂级数在近似计算中的应用 292

习题11-4 293

第五节 傅里叶级数 293

一、三角级数　三角函数系的正交性 293

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 294

三、以2ι为周期的函数的傅里叶级数 299

习题11-5 300

附录　积分表 301

习题答案 309

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