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第一章　向量 1

Ⅰ　纲要 1

1 向量及其运算 1

一 向量概念 1

二 向量的代数运算 1

三 向量的分析运算 3

2 数学场论 6

一　数学场概念 6

二　数量场的梯度 6

三 矢量场的通量与散度 7

四 矢量场的环量与旋度 8

五　哈密顿算符 10

六　几个特殊场 10

七　柱坐标、球坐标系下的算符？与△ 12

Ⅱ　向量简史与基本问题 14

第二章　复变函数 17

Ⅰ　纲要 17

1 复变函数 17

一 复数 17

二 复变函数 19

〔附〕黎曼曲面与区域的概念 19

三　初等函数 20

四 解析函数 21

2 复变函数的积分 24

一 一般复变函数的积分 24

二　解析函数的积分 24

3　幂级数展开 27

一　有关概念 27

二　幂级数 29

三 解析函数的泰勒展开与解析延拓 30

四 解析函数的罗朗展开 31

五　孤立奇点的分类 32

一 基本概念 34

二 留数基本定理 34

六 解析函数的分类 34

4 留数 34

三 留数的计算 35

四 留数的应用 35

〔附〕柯西积分主值 39

5 保角变换 39

一 基本概念 39

二 解析函数定义的变换 39

四 简单函数定义的变换 40

三　基本定理 40

五 保角变换的应用 46

Ⅱ　例题选解 47

Ⅲ 复变函数论简史与基本问题 62

第二章习题 66

第三章 傅里叶级数与傅里叶积分 77

Ⅰ　纲要 77

一 周期函数与振动 77

二 正交系与归一化正交系 78

三 傅里叶三角级数 80

四 二重傅里叶级数 82

五　一般傅里叶级数 83

六 傅里叶积分 85

Ⅱ　例题选解 88

Ⅲ　傅里叶级数简史与基本问题 91

第三章习题 95

第四章 特殊函数 103

Ⅰ　纲要 103

1 由积分定义的特殊函数 103

一　Г函数 103

二　В函数 105

一 数学物理中常遇到的二阶线性常微分方程 106

三 误差函数与余误差函数 106

2 由微分方程产生的特殊函数 106

二 方程的常点与奇点 107

三 二阶线性常微分方程幂级数解的基本定理 108

四 勒让得方程与勒让得多项武 108

五 缔合勒让得方程与缔合勒让得函数 113

六 贝塞尔方程与贝塞尔函数 115

七 虚宗量贝塞尔方程与虚宗量贝塞尔函数 122

八 球贝塞尔方程与球贝塞尔函数 125

九 厄米方程与厄米多项式 127

十　拉盖尔方程与拉盖尔多项式 129

Ⅱ　例题选解 132

Ⅲ　特殊函数论简史与基本问题 138

第四章习题 140

第五章 数学物理方程 147

Ⅰ　纲要 147

1 定解问题与方程的化简 147

一 基本概念 147

二 定解问题 147

三 方程的化简 148

一 推导泛定方程的原则性步骤 151

2 定解问题的提出 151

三 例题示范 152

二 定解条件的提出 152

3 定解问题常用解法之一——通解法 157

一 关于定解问题的求解 157

二 通解法的步骤与局限性 158

三 行波法解无界弦或杆的纵振动问题 158

四 通解法其他例 160

4 定解问题常用解法之二——分离变量法 161

一　有关概念 161

三　分离变量法解问题Ⅰ 162

二　一般初边值定解问题的分解 162

四 问题Ⅱ的转化——边界条件齐次化 168

五 问题Ⅲ的各种解法 169

六 分离变量法解无界域问题 172

七 正交曲线坐标系中的变量分离 173

5 特殊函数的应用 178

一　斯特姆-刘维本征值问题 178

二 球函数 180

三 球坐标系中拉普拉斯方程在自然条件下的傅里叶级数解 182

四 球坐标系中亥姆霍兹方程的本征解 183

五 柱坐标系下拉普拉斯方程满足部分边界条件的一般解 184

六 柱坐标系下亥姆霍兹方程的本征解 185

七 稳恒振动 平面波的展开 186

附一 δ函数 189

附二 冲量法诠释 192

Ⅱ　例题选解 193

Ⅲ 数学物理方程简史与基本问题 211

第五章习题 214

一 格林函数的概念 227

Ⅰ　纲要 227

第六章 格林函数 227

二　格林函数法 228

三 格林函数实例 234

四 格林函数法解题示范 238

Ⅱ　例题选解 240

Ⅲ 格林函数简史与基本问题 246

第六章习题 248

第七章　积分变换 252

Ⅰ　纲要 252

二 拉普拉斯变换存在的条件 253

三 简单函数的拉氏变换举例 253

一　定义 253

1 拉普拉斯变换 253

四 拉氏变换的简单性质 254

五 拉氏变换反演的基本定理 255

六 拉氏变换的应用 257

2 傅里叶变换 259

一 定义 259

二 傅里叶变换与逆变换举例 260

三 傅里叶变换的性质 261

四 Fc变换与Fs变换 262

五　解题示范 263

例题选解 266

积分变换简史与基本问题 278

第七章习题 281

第八章　变分法 290

Ⅰ　纲要 290

一　基本概念 290

二　泛函的极值 291

三 泛函V〔y〕=？F(x,y,y′)dx有极值的必要条件——欧拉方程 292

四 多个函数的泛函的极值 293

五　含高阶导数的泛函的极值 293

六 由重积分定义的泛函的极值 294

七 泛函的条件极值 295

八　可动端界的变分问题 297

九 哈密顿原理 299

十　变分问题的直接解法 301

Ⅱ　例题选解 303

Ⅲ 变分法简史与基本问题 308

第八章习题 311

第九章　积分方程 316

Ⅰ　纲要 316

一 基本概念 316

二 线性积分方程的分类 317

三 导致积分方程的典型问题 318

四　退化核积分方程 321

五　实对称核积分方程 323

六　迭代法求非齐次积分方程的级数解 329

Ⅱ　例题选解 333

Ⅲ 积分方程论简史与基本问题 338

第九章习题 340

拉普拉斯变换表 344

傅里叶变换表 346

习题参考答案 348

外国人名对照表 383

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