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引论 1

0.1　一个高等数学命题的扩充 1

0.1.1 集合与距离 1

0.1.2 映射 6

0.1.3 泛函分析与高等数学某些方面的粗略比较 9

0.1.4 一个高等数学命题的抽象 11

0.1.5 抽象命题应用的一例 17

0.2.1 内积与距离 19

0.2　一个几何命题的扩充 19

0.2.2 函数的最佳逼近问题 21

0.2.3 最佳逼近三角多项式 23

第一章　集合、映射与线性空间 25

1.1 集合运算 25

1.1.1 集合概念 25

1.1.2 备用记号 26

1.1.3 集合运算的定义 27

1.1.4 运算法则 29

1.1.5　笛卡尔积概念 31

1.2.1 集的对等概念 32

1.2　无限集的势 32

1.2.2 可列集 33

1.2.3 势c集 36

1.3　映射 38

1.3.1 映射概念 38

1.3.2 映射基本性质 41

1.3.3　复合映射与逆映射 42

1.4.1 矢量空间的概念 48

1.3.4　逆映射与算子方程的解 48

1.4　矢量空间 48

1.4.2 线性组合与线性相关 51

1.4.3 矢量空间的生成与基 53

1.5　线性变换 56

1.5.1 线性变换概念 56

1.5.2 非奇线性变换 59

1.5.3 有限维空间上的线性变换与矩阵 60

2.1.1 实数连续性概念 63

第二章　实分析基础 63

2.1 实数连续性与完备性 63

2.1.2 实数连续性等价命题 68

2.1.3 实数完备性及其应用 71

2.2　闭区间上连续函数的性质 79

2.2.1 有界性定理、最值与介值定理 79

2.2.2 一致连续性 82

2.2.3　一致收敛概念 87

2.3.1 开集及其测度 90

2.3　点集及测度 90

2.3.2　聚点性质、闭包及稠密 94

2.3.3 闭集及其测度 97

2.3.4 可测集 101

2.4　可测函数 108

2.4.1 可测函数概念 108

2.4.2 可测函数性质 110

2.4.3 可测函数与连续函数的关系 113

2.4.4　测度收敛概念 115

2.5.1 黎曼积分概念 116

2.5　勒贝格积分 116

2.5.2 测度有限的集上的函数的勒贝格积分 121

2.5.3 无穷测度集上的函数的勒贝格积分 127

2.5.4　勒贝格积分的性质 128

第三章　度量空间 134

3.1　度量空间概念 135

3.1.1 几个不等式 135

3.1.2 度量空间定义 141

3.1.3 常见的度量空间 142

3.2　度量空间的拓扑性质 148

3.2.1 开集与闭集 149

3.2.2　连续与一致连续 153

3.2.3　度量空间中的收敛 156

3.3　完备性概念 162

3.3.1　本来列概念 162

3.3.2 常见的完备空间 165

3.3.3　度量空间的完备化 170

3.3.4　完备性的等价命题 172

3.4　压缩映射原理及其应用 174

3.4.1　压缩映射原理 174

3.4.2 线性方程组的迭代解法 179

3.4.3 一阶常微分方程解的存在唯一性定理 183

3.4.4　压缩映射原理在积分方程求解时的应用 185

3.5　可分性概念 189

3.5.1　稠密概念 189

3.5.2　可分性 193

3.5.3　不可分的完备空间 194

3.6　列紧性与紧性 195

3.6.1　全有界 195

3.6.2 列紧性 197

3.6.3　列紧的表现 202

3.6.4 紧集 203

3.6.5 紧集上连续泛函的性质 206

第四章　赋范空间与Banach空间 209

4.1　线性赋范空间基本概念 209

4.1.1　线性赋范空间定义 210

4.1.2 赋范空间与距离空间关系 211

4.1.3 赋范空间的例 214

4.1.4 赋范空间基本性质 215

4.2　有限维赋范空间与子空间 218

4.2.1　完备性定理 218

4.2.2　范数等价定理 219

4.2.3 紧性 220

4.3　线性有界算子 221

4.3.1 线性算子与有界算子定义 222

4.3.2 线性有界算子的条件 224

4.3.3　算子范数的定义 224

4.3.4 求线性有界算子范数的例 226

4.3.5　有限维空间上的线性算子 231

4.4　线性连续算子空间 232

4.4.1 线性算子的连续性与有界性 233

4.4.2　连续算子空间 235

4.4.3　算子列的收敛 238

4.4.4 赋范空间中级数的收敛与绝对收敛 239

4.4.5　连续算子空间中算子级数的收敛与绝对收敛 241

4.4.6　下有界算子与逆算子 247

4.5　线性有界泛函与共轭空间 249

4.5.1 线性有界泛函的表现形式 250

4.5.2 共轭空间的概念 251

4.6　有界线性算子的谱 252

4.6.1 特征值与特征矢量 253

4.6.2 有界线性算子的正则点与谱点 261

4.6.3　谱的性质 265

4.7.1 最佳逼近问题 268

4.7　赋范空间中的最佳逼近 268

4.7.2　C［a、b］中最佳逼近的存在唯一性 271

4.7.3　Chebyshev多项式 274

第五章　内积空间与Hilbert空间 277

5.1 内积空间基本概念 277

5.1.1 内积定义 277

5.1.2 内积基本性质 283

5.2　正交分解与投影定理 287

5.2.1 正交与正交补 288

5.2.2 矢量投影与正交分解 290

5.2.3 投影定理与极值问题 292

5.3　投影定理应用实例 296

5.3.1 三角多项式的最佳逼近 296

5.3.2 最小二乘法 298

5.4 内积空间中的正交系 299

5.4.1 单位正交系与广义Fourier级数 299

5.4.2 正交系的完全性与完备性 304

5.4.3 三角函数系的完全性及其应用 308

5.4.4　Gram-Schmidt正交化方法 314

5.4.5　Legendre多项式 316

5.4.6　Hermite多项式 320

5.4.7　Laguerre多项式 323

5.5　共轭空间与共轭算子 324

5.5.1 连续线性泛函的表示 324

5.5.2 共轭空间 326

5.5.3　共轭算子 327

参考书目 333

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