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第一篇　函数、极限、连续 1

第一章 函数 1

1.1　常量和变量、区间、绝对值和邻域 1

一、常量和变量 1

二、区间、绝对值和邻域 2

习题1-1 8

1.2　函数的概念及其表示法 8

一、函数的概念 8

二、函数的表示法 13

三、分段函数 15

习题1-2 18

1.3　函数的某些特性 20

一、函数的有界性 20

二、函数的单调性 20

三、函数的奇偶性 22

四、函数的周期性 24

习题1-3 25

1.4　反函数与复合函数 26

一、反函数 26

二、复合函数 29

习题1-4 33

1.5　基本初等函数与初等函数 34

一、基本初等函数 34

二、初等函数 40

习题1-5 40

1.6　建立函数关系式举例 41

习题1-6 44

学习指导（一） 46

复习练习题（一） 56

一、数列的概念及性质 61

2.1　数列的极限 61

第二章　极限 61

二、数列的极限 64

三、收敛数列的有界性 69

习题2-1 70

2.2　数列极限的存在准则及四则运算法则 71

一、数列极限的存在准则 71

二、数列极限的四则运算法则 74

习题2-2 79

2.3　函数的极限 80

一、当自变量x→∞时函数f（x）的极限 80

二、当自变量x→x0时函数f（x）的极限 83

三、函数的左、右极限 87

习题2-3 89

一、函数极限的四则运算法则 90

2.4 函数极限的运算法则与函数极限的性质 90

二、复合函数的极限法则 93

三、函数极限的性质 95

习题2-4 96

2.5 函数极限的存在准则及两个重要极限 97

一、函数极限存在的夹逼准则 97

二、两个重要极限 98

习题2-5 105

2.6　无穷大与无穷小 106

一、无穷大 106

二、无穷小 108

三、无穷大与无穷小之间的关系 109

四、具有极限的函数与无穷小的关系 110

五、无穷小的性质 111

六、无穷小的比较 112

习题2-6 116

学习指导（二） 117

复习练习题（二） 130

第三章 函数的连续性 134

3.1 函数的连续性与间断点 134

一、函数的连续性概念 134

二、函数的间断点及其分类 139

习题3-1 143

3.2　连续函数的运算与初等函数的连续性 144

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 144

二、反函数的连续性 145

三、复合函数的连续性 146

四、初等函数的连续性 147

习题3-2 149

3.3　闭区间上连续函数的性质 150

学习指导（三） 153

习题3-3 153

复习练习题（三） 160

测验作业题（一） 163

第二篇　一元函数微分学 166

第四章　函数的导数 166

4.1　导数的概念 166

一、变化率问题举例 166

二、导数的定义 169

三、导数的几何意义 175

四、左导数与右导数 177

五、函数的可导性与连续性之间的关系 179

习题4-1 180

4.2 函数的求导法则及基本导数公式 181

一、函数的和、差、积、商的求导法则 182

二、反函数的求导法则 186

三、复合函数的求导法则 189

习题4-2 194

4.3　初等函数的导数及分段函数求导举例 195

一、初等函数的导数 195

二、分段函数求导举例 199

习题4-3 200

4.4　高阶导数 202

习题4-4 205

4.5 由方程确定的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 206

一、由方程确定的隐函数的求导方法 206

二、对数求导法 210

三、由参数方程所确定的函数及其求导方法 211

习题4-5 215

学习指导（四） 216

复习练习题（四） 225

一、引例 230

5.1 函数的微分概念 230

第五章　函数的微分 230

二、微分的定义 231

三、函数的微分与导数之间的关系 231

四、微分的几何意义 233

习题5-1 234

5.2　基本初等函数的微分公式及微分运算法则 235

一、基本初等函数的微分公式 235

二、函数的和、差、积、商的微分法则 236

三、复合函数的微分法则——微分形式不变性 238

习题5-2 239

5.3　微分在近似计算中的应用 240

一、计算函数的增量及函数值的近似值 240

二、误差估计 243

习题5-3 244

学习指导（五） 245

复习练习题（五） 250

测验作业题（二） 251

第六章 中值定理与洛必达法则 253

6.1 中值定理 253

一、罗尔（Rolle）中值定理（简称罗尔定理） 253

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 256

三、柯西（Cauchy）中值定理 261

四、泰勒（Taylor）中值定理 263

习题6-1 268

6.2 洛必达（L'Hospital）法则 269

一、？型未定式 269

二、？型未定式 271

三、其它类型的未定式 272

四、关于使用洛必达法则的说明 274

学习指导（六） 276

习题6-2 276

复习练习题（六） 281

第七章　导数的应用 283

7.1 函数的单调增减性的判别法 283

一、函数的单调增减性与导数符号的关系 283

二、函数的单调增减性的判别法 284

三、利用函数的单调增减性证明不等式举例 287

习题7-1 288

7.2　函数的极值及其求法 289

一、函数极值的概念 289

二、函数极值的求法 290

习题7-2 295

7.3 函数的最大值和最小值及其应用 296

一、在闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法 296

二、求实际问题中函数的最大值与最小值举例 297

习题7-3 301

7.4　曲线的凹凸性及拐点 302

一、曲线的凹凸性 303

二、曲线的拐点及其求法 305

习题7-4 306

7.5　函数图形的描绘 307

一、曲线的渐近线 307

二、函数图形的描绘 309

习题7-5 311

7.6　弧长的微分与曲率 312

一、弧长的微分 312

二、曲率的概念及其计算公式 314

三、曲率半径与曲率圆 318

习题7-6 320

学习指导（七） 320

复习练习题（七） 330

测验作业题（三） 332

第三篇　一元函数积分学 333

第八章　不定积分 333

8.1　原函数与不定积分的概念 333

一、原函数的概念 333

二、不定积分的定义 335

三、不定积分的几何意义 336

四、不定积分的性质 337

五、基本积分公式 339

六、直接积分法 341

习题8-1 343

8.2　换元积分法 345

一、第一类换元法（凑微分法） 345

习题8-2（1） 352

二、第二类换元法 353

习题8-2（2） 359

8.3　分部积分法 360

习题8-3 365

8.4　有理函数及三角函数有理式的积分 366

一、有理函数的积分 366

二、三角函数有理式的积分 373

习题8-4 375

学习指导（八） 376

复习练习题（八） 385

测验作业题（四） 388

第九章　定积分 389

9.1　定积分的概念 389

一、引例 389

二、定积分的定义 393

三、定积分的几何意义 396

习题9-1 397

9.2　定积分的性质 398

习题9-2 402

9.3 牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式 403

一、积分上限的函数及其导数 403

二、牛顿—莱布尼茨公式 406

习题9-3 408

9.4　定积分的换元积分法与分部积分法 409

一、定积分的换元积分法 410

习题9-4（1） 414

二、定积分的分部积分法 415

习题9-4（2） 418

9.5　定积分的近似计算 419

一、矩形法 419

二、梯形法 420

三、抛物线法 421

习题9-5 425

一、无穷区间上的广义积分 426

9.6　广义积分 426

二、无界函数的广义积分 429

习题9-6 431

学习指导（九） 432

复习练习题（九） 443

第十章　定积分的应用 447

10.1　定积分的元素法 447

10.2　平面图形的面积 449

一、直角坐标系中的面积公式 449

二、极坐标系中的面积公式 454

习题10-2 457

10.3　某些特殊立体的体积 457

一、旋转体的体积 457

二、平行截面面积为已知的立体的体积 461

习题10-3 463

一、直角坐标方程的情形 464

10.4　平面曲线的弧长 464

二、参数方程的情形 465

三、极坐标方程的情形 465

习题10-4 466

10.5　定积分在物理上的应用 467

一、变力所作的功 467

二、水压力 470

习题10-5 471

学习指导（十） 472

复习练习题（十） 481

测验作业题（五） 483

附录一　积分表 485

附录二　初等数学中的常用公式 495

附录三 某些常用的曲线方程及其图形 499

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