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第一章 矩阵运算及初等变换 1

1.1 矩阵的概念 1

一、引例 1

二、矩阵的定义 1

三、特殊矩阵 4

习题1.1 6

1.2 矩阵的运算 7

一、矩阵的线性运算 7

二、矩阵的乘法 8

三、矩阵的转置 13

四、共轭矩阵 15

习题1.2 15

1.3 分块矩阵及运算 16

一、分块矩阵 16

二、分块矩阵的运算 17

三、常用的分块形式 19

习题1.3 21

1.4 初等变换 22

一、线性方程组的初等变换 22

二、矩阵的初等变换 23

三、初等矩阵 27

习题1.4 30

总习题一 31

实验1 矩阵的基本运算及初等变换 34

一、实验目的 34

二、实验指导 34

三、应用实验 37

第二章 方阵的行列式 40

2.1 n阶行列式 40

一、2阶和3阶行列式 40

二、n阶行列式的定义 43

三、n阶行列式按排列、反序数展开 46

习题2.1 50

2.2 行列式的性质 51

一、行列式的性质 51

二、利用性质计算行列式 55

习题2.2 59

2.3 行列式展开定理 61

一、行列式按任意一行（列）展开 61

二、代数余子式的性质 64

习题2.3 65

2.4 克莱姆法则 66

一、克莱姆法则 66

二、齐次线性方程组有非零解的条件 68

习题2.4 70

总习题二 71

实验2 行列式的计算 72

一、实验目的 72

二、实验指导 72

三、应用实验 75

第三章 方阵的逆矩阵 77

3.1 方阵的逆矩阵 77

一、逆矩阵的概念 77

二、可逆矩阵的判定及求法 78

三、解矩阵方程 84

习题3.1 88

3.2 矩阵的秩 89

一、矩阵的秩的概念 89

二、用初等变换求矩阵的秩 91

三、矩阵的秩的性质 94

习题3.2 95

3.3 线性方程组的消元法 96

一、高斯消元法 96

二、线性方程组有解的判定定理 98

习题3.3 104

3.4 投入产出数学模型 105

一、投入产出平衡方程组 105

二、消耗系数 107

习题3.4 112

总习题三 112

实验3 逆矩阵及矩阵的秩 114

一、实验目的 114

二、实验指导 114

三、应用实验 116

第四章 n维向量与线性方程组 119

4.1 n维向量空间 119

一、n维向量及其运算 119

二、向量空间及其子空间 121

习题4.1 122

4.2 向量组的线性关系 123

一、向量组的线性表示 123

二、向量组的线性相关性 128

三、线性表示与线性相关的关系定理 132

习题4.2 134

4.3 向量组的秩 135

一、向量组的极大线性无关组与秩 135

二、向量组的秩与矩阵的秩间的关系 138

三、向量空间的基、维数与坐标 141

四、基变换与坐标变换 143

习题4.3 146

4.4 线性方程组解的结构 147

一、齐次线性方程组解的结构 147

二、非齐次线性方程组解的结构 152

习题4.4 154

总习题四 155

实验4 向量组的线性相关性与线性方程组解的结构 158

一、实验目的 158

二、实验指导 158

三、应用实验 160

第五章 方阵的特征值与特征向量 164

5.1 n维向量的内积、长度与正交 164

一、向量的内积与正交 164

二、施密特（Schimidt）正交化过程 166

三、正交矩阵 169

习题5.1 170

5.2 特征值与特征向量 171

一、特征值与特征向量的概念 171

二、特征值与特征向量的计算 172

三、特征值与特征向量的性质 174

习题5.2 177

5.3 相似矩阵及矩阵的对角化 177

一、相似矩阵的概念与性质 177

二、矩阵与对角矩阵相似的条件 179

三、实对称矩阵的对角化 180

习题5.3 184

5.4 最小二乘问题 185

一、最小二乘法 185

二、最小二乘直线 187

习题5.4 189

总习题五 189

实验5 特征值与特征向量及矩阵的相似对角化 191

一、实验目的 191

二、实验指导 191

三、应用实验 194

第六章 二次型 197

6.1 二次型及其标准形 197

一、二次型及矩阵表示 197

二、二次型的标准形 200

习题6.1 208

6.2 正定二次型 209

一、二次型与对称矩阵有定性的概念 209

二、正定二次型与正定矩阵的判定 209

习题6.2 212

6.3 二次型的应用问题 213

一、二次型在求函数极值中的应用 213

二、二次曲线（曲面）的化简问题 216

习题6.3 220

总习题六 220

实验6 二次型及其标准形 222

一、实验目的 222

二、实验指导 222

三、应用实验 226

附录一 复数、数环和数域 228

附录二 连加符号∑与连乘符号∏ 232

习题参考答案与提示 234

参考文献 265

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