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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 3

例题分析 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 5

三、求反函数的表达式 6

四、关于函数有界（无界）的讨论 7

2极限 7

内容精讲 7

一、定义 7

二、重要性质、定理、公式 8

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 12

一、求函数的极限 12

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 17

三、含有|x|，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限 20

四、无穷小的比较 20

五、数列的极限 21

六、极限运算定理的正确运用 24

3函数的连续与间断 27

内容精讲 27

一、定义 27

二、重要性质、定理、公式 28

例题分析 28

一、讨论函数的连续与间断 28

二、在连续条件下求参数 29

三、连续函数的零点问题 30

自测题 30

第二章 一元函数微分学 33

考点与要求 33

1导数与微分，导数的计算 33

内容精讲 33

一、定义 33

二、重要性质、定理、公式 34

例题分析 37

一、按定义求一点处的导数 37

二、已知f （x）在某点x = x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 38

三、绝对值函数的导数 43

四、由极限式表示的函数的可导性 44

五、导数与微分、增量的关系 44

六、求导数的计算题 45

2导数的应用 47

内容精讲 47

一、定义 47

二、重要性质、定理、公式与方法 47

例题分析 49

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 49

二、渐近线 52

三、曲率与曲率圆 53

四、最大值、最小值问题 53

3中值定理、不等式与零点问题 55

内容精讲 55

一、重要定理 55

二、重要方法 56

例题分析 57

一、不等式的证明 57

二、f （x）的零点与f′（x）的零点问题 62

三、复合函数？（x， f （x），f′（x））的零点 64

四、复合函数？（x， f （x），f′（x），f″（x））的零点 64

五、“双中值”问题 65

六、零点的个数问题 66

七、证明存在某ξ满足某不等式 67

八、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系 68

自测题 69

第三章 一元函数积分学 73

考点与要求 73

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 73

内容精讲 73

一、定义 73

二、重要性质、定理、公式 74

例题分析 75

一、分段函数的不定积分与定积分 75

二、定积分与原函数的存在性 78

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 78

2不定积分与定积分的计算 81

内容精讲 81

一、基本积分公式 81

二、基本积分方法 82

例题分析 84

一、简单有理分式的积分 84

二、三角函数的有理分式的积分 85

三、简单无理式的积分 85

四、两种不同类型的函数相乘的积分 87

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 88

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 89

七、含参变量带绝对值号的定积分 91

3反常积分及其计算 92

内容精讲 92

一、定义 92

二、重要性质、定理、公式 93

例题分析 94

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 94

二、关于奇、偶函数的反常积分 96

4定积分的应用 97

内容精讲 97

一、基本方法 97

二、重要几何公式与物理应用 98

例题分析 99

一、几何应用 99

二、物理应用 101

5定积分的证明题 105

内容精讲 105

例题分析 105

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 105

二、由积分定义的函数求极限 106

三、积分不等式的证明 108

四、零点问题 113

自测题 115

第四章 多元函数微积分学 119

考点与要求 119

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 119

内容精讲 119

一、多元函数 119

二、二元函数的极限与连续 119

三、二元函数的偏导数与全微分 120

例题分析 122

一、讨论二重极限 122

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 124

三、讨论二元函数的可微性 125

2多元函数的微分法 129

内容精讲 129

一、复合函数的偏导数与全微分 129

二、隐函数的偏导数与全微分 130

例题分析 131

一、求复合函数的偏导数与全微分 131

二、求隐函数的偏导数与全微分 139

3极值与最值 143

内容精讲 143

一、无条件极值 143

二、条件极值 143

例题分析 144

一、无条件极值问题 144

二、条件极值（最值）问题 146

三、多元函数的最大（小）值问题 147

4二重积分 151

内容精讲 151

一、二重积分的定义及几何意义 151

二、二重积分的性质 152

三、二重积分的计算 152

例题分析 154

一、计算二重积分 154

二、累次积分交换次序及计算 164

三、与二重积分有关的综合题 167

四、与二重积分有关的积分不等式问题 169

自测题 172

第五章 常微分方程 176

考点与要求 176

1常微分方程 176

考点与要求 176

一、微分方程的基本概念 176

二、常见的几类一阶方程及解法 176

三、可降阶的高阶微分方程 177

四、高阶线性方程 177

例题分析 179

一、微分方程求解 179

二、微分方程的综合题 185

三、微分方程的应用 187

自测题 190

第二篇 线性代数 192

第一章 行列式 192

考点与要求 192

内容精讲 192

例题分析 195

一、数字型行列式的计算 195

二、抽象型行列式的计算 200

三、行列式|A|是否为零的判定 202

四、关于代数余子式求和 203

自测题 204

第二章 矩阵 206

考点与要求 206

内容精讲 206

1矩阵的概念及运算 206

一、矩阵的概念 206

二、矩阵的运算 207

三、矩阵的运算规则 207

四、特殊矩阵 208

2可逆矩阵 209

一、可逆矩阵的概念 209

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 209

三、逆矩阵的运算性质 209

四、求逆矩阵的方法 209

3初等变换、初等矩阵 209

一、定义 209

二、初等矩阵与初等变换的性质 210

4矩阵的秩 210

一、矩阵秩的概念 211

二、矩阵秩的公式 211

5分块矩阵 211

一、分块矩阵的概念 211

二、分块矩阵的运算 212

例题分析 213

一、矩阵的概念及运算 213

二、特殊方阵的幂 217

三、伴随矩阵的相关问题 219

四、可逆矩阵的相关问题 221

五、初等变换、初等矩阵 224

六、矩阵秩的计算 226

自测题 229

第三章向量 231

考点与要求 231

内容精讲 231

1向量、向量组的线性相关性 231

2极大线性无关组、秩 232

3内积，正交规范化方法 234

例题分析 235

一、线性相关性的判别 235

二、向量的线性表示 237

三、向量组线性无关的证明 238

四、秩、极大线性无关组 241

五、正交矩阵、施密特正交化方法 245

自测题 247

第四章 线性方程组 250

考点与要求 250

内容精讲 250

1克拉默法则 250

2齐次线性方程组 250

3非齐次线性方程组 252

例题分析 253

一、线性方程组的基本概念题 253

二、线性方程组的求解 257

三、基础解系 263

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 264

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 266

六、两个方程组的公共解 267

七、同解方程组 268

八、线性方程组的有关杂题 270

自测题 272

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 275

考点与要求 275

内容精讲 275

1特征值、特征向量 275

一、定义 275

二、特征值的性质 275

三、求特征值、特征向量的方法 276

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 276

一、定义 276

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 276

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 277

3实对称矩阵的相似对角化 277

一、定义 277

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 277

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 277

例题分析 278

一、特征值，特征向量的求法 278

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 282

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 283

四、矩阵是否相似于对角阵 284

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 286

六、由特征值、特征向量反求A 287

七、矩阵相似及相似标准形 288

八、相似对角阵的应用 292

自测题 296

第六章 二次型 299

考点与要求 299

内容精讲 299

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 299

一、二次型概念 299

二、二次型的矩阵表示 299

2化二次型为标准形、规范形合同二次型 300

一、定义 300

3正定二次型、正定矩阵 301

一、定义 301

例题分析 302

一、二次型的矩阵表示 302

二、化二次型为标准形、规范形 303

三、合同矩阵、合同二次型 309

四、正定性的判别 312

五、正定二次型的证明 316

六、综合题 317

自测题 318

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