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第一卷 31

第一部分 基础 31

第一章 预备知识和非标准分析的公理系 31

1.历史引论 31

2.语言和逻辑 39

3.类型 42

4.标准分析 M 的公理系 44

5.非标准分析？M 的公理系 47

第二章 几个基本问题 53

6.函数概念 53

7.实在数线 A2 55

8.单子和无穷 58

9.实序宇宙 60

10.归纳法 66

11.区间和简单内函数 68

12.和、乘积和二项式定理 70

第二部分 非标准分析 77

第三章 在 G2上的极限和连续性 77

13.在 G2上的 M2中的序列的极限 77

14.在？M 与在 G2上的 M2之间的基本概念的比较 81

15.Cauchy 序列 86

16.R2中的开集和闭集 88

17.在 G2的函数的极限 92

18.标准函数在标准点的极限 94

19.在 M2/G2中函数的连续性 96

第四章 在 M2/G2的导数和积分 100

20.在 M2/G2的导数 100

21.在 M2/G2中微分学的基本定理 104

22.标准函数在标准点上的导数 106

23.在 M2/G2的不定积分 107

24.在 M2/G2的定积分 109

25.？M 中定积分的重要性质 114

26.在 M2/G2中将内函数转为标准函数的两个定理 117

27.标准函数在标准区间上的定积分 120

第五章 在 M2/G2初等函数及其图象 122

28.在？M 中的初等函数 122

29.分层坐标系 126

30.在具无穷比值的三层坐标系中简单函数的图象 128

31.切线和割线 133

第三部分 第二微积分学 139

第六章 第二微积分学 139

32.历史回顾 139

33.第二自然序集 141

34.U2中元素的分类 142

35.U2中的加法 145

36.U2中的乘法 150

37.U2中序的性质以及几点注释 157

38.V2中的极限 158

39.V2中的连续性 161

40.V2中的导数和积分 166

第四部分 Dirac Delta 函数的新理论 175

第七章 Dirac Delta 函数的新理论 175

41.Dirac Delta 函数的引论 175

42.点 Delta 函数的定义 179

43.在(-*∞，*∞)上的个体的点 Delta 函数 180

44.在(-p,p)上的个体的点 Delta 函数 191

45.F(δ(x))及其筛取性质 194

46.由 Riemann 反常积分构造点 Delta 函数 206

47.点 Delta 函数的性质 214

48.由正交系导出的 Delta 函数 227

第五部分 奇异函数和它们的积分 243

第八章 奇异函数和它们的积分 243

49.定义不完全函数和它们的积分 243

50.关于奇异积分的简单例题 256

51.单位阶跃函数的 Fourier 变换 267

52.奇异函数的 Fourier 积分和 Fourier 变换的例题 274

第九章 对微分方程及其基本解的应用 280

53.奇异线性常微分方程式 280

54.谐振子 286

55.通过 Delta 函数去表示最简单常微分方程的解 289

56.非线性常微分方程 294

57.奇异线性椭圆型偏微分方程 298

58.非线性椭圆型偏微分方程 302

59.常系数椭圆型偏微分方程的基本解 309

60.其他偏微分方程的基本解 316

第六部分 多重微积分学初步 329

第十章 多重微积分学初步 329

61.多重实数线的公理系 329

62.在多重实数线中的无穷小和无穷大 332

63.多重实序宇宙 334

64.在多重微积劳中的 Delta 函数 337

65.在多重微积分中的奇异函数及其积分 344

66.把 Fourier 变换表示为 Fourier 级数 347

第一卷参考文献 351

第一卷索引 360

67.商高和陈夫子的科学成就 373

第十一章 中国科技史拾零 373

第七部分 专题集粹 373

第二卷 373

68.墨翟在 Archimedes 之前发现了 Archimedean 公理 380

第十二章 关于 Saint-Venant 原理的反例 386

69.引言 387

70.下半平面的反例 389

71.圆盘上的反例 393

72.下半空间的反例 398

73.某些评注 401

第十三章 二阶线性常微分方程 Sturm-Liouville 问题的显式解 405

74.问题的提出 406

75.矩阵 P(λ1,…λN)的性质和逆 410

76.特征值和特征向量 413

77.第一边值问题解的积分表示 414

78.收敛性的估计 420

79.第二边值问题解的积分表示 423

80.初值问题解的积分表示 427

81.第三边值问题解的积分表示 429

82.混合边值问题解的积分表示 433

第十四章 矩阵多项式方程的解 438

83.矩阵多项式方程的解 439

第十五章 微分方程数值方法 455

84.一般理论 455

85.二阶常微分方程边值问题的计算 459

86.变分打靶法 467

87.最小二乘法 471

88.单形法 473

第二卷索引 477

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