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第一章 关于函数问题的若干方法 1

1.1 函数的四种表示法 1

1.1.1 解析法 1

1.1.2 列表法 1

1.1.3 图示法 1

1.1.4 叙述法 1

1.2 函数定义域的表示法与求法 1

1.2.1 函数定义域的表示法 1

1.2.2 函数定义域的求法 2

1.3 函数值和函数值域的求法 4

1.3.1 函数值 4

1.3.2 函数值域的求法 5

1.4 反函数的图象和求法 6

1.5 函数的作图法 7

1.5.1 平移作图法 7

1.5.2 伸缩作图法 8

1.5.3 图形叠加法 8

1.5.4 绝对值函数作图法 8

1.5.5 分级函数作图法 9

1.5.6 一般复合函数作图法 9

1.5.7 利用f(x)的图形作f(-x)和-f(x)的图形 10

1.5.8 极坐标方程作图法 10

1.5.9 参变量方程作图法 10

1.5.10 隐函数作图法 11

1.5.11 微分作图法 11

1.6.1 单调性判别性 12

1.6 函数简单性质的判别法 12

1.6.2 有界性判别法 13

1.6.3 奇偶性判别法 14

1.6.4 周期性判别法 14

第二章 求极限的方法 16

2.1 利用有关公式求极限 16

2.2 求和式极限的部分分式法 16

2.3 求乘积极限的商式法 16

2.4 单调数列法 17

2.5 利用数列的递推关系求极限 17

2.6 级数法 19

2.7 定积分法 19

2.8 斯笃兹方法 20

2.10 化简分式或实行有理化的方法 21

2.9 不等式估值法 21

2.11 变量代换法 22

2.12 先取对数法 22

2.13 利用函数极限与数列极限的关系求极限 23

2.14 利用基本极限的结果求极限 24

2.15 代替法 24

2.16 洛必达法则 25

2.17 展开法 26

2.18 利用导数的定义求极限 27

2.19 利用微分中值定理求极限 27

2.20 利用积分中值定理求极限 28

2.21 利用黎曼引理求极限 28

2.22 二重极限 29

2.24 幂级数的极限 31

2.23 二次极限 31

2.25 含参变量积分的极限 32

第三章 求导数的方法 33

3.1 复合函数求导法 33

3.2 高阶导数 33

3.3 反函数的导数 34

3.4 隐函数的导数 34

3.5 用参变量表示的函数的导数 35

3.6 对数求导法 35

3.7 根据函数的特性进行化简 36

3.8 利用变量代换进行化简 36

3.9 抽象函数求导法 37

3.10 分段函数求导法 37

3.12.1 用一阶偏导数的定义及一元函数的求导公式 39

3.11 应用泰勒展开式求导数 39

3.12 一阶偏导数的计算 39

3.12.2 复合函数求导法 40

3.12.3 隐函数求导法 41

3.13 高阶偏导数的计算 45

3.13.1 利用高阶偏导数的概念直接计算 45

3.13.2 分段函数在分段点处的高阶偏导数 45

3.13.3 二元函数的n阶偏导数 46

3.13.4 复合函数的高阶偏导数 46

3.13.5 隐函数的高阶偏导数 48

3.14 全导数的计算 49

3.15 方向导数的计算 50

4.1.1 分解积分法 51

4.1 不定积分的基本计算法 51

第四章 一元函数积分法 51

4.1.2 换元积分法 52

4.1.3 分部积分法 54

4.1.4 有理函数积分法 57

4.1.5 包含二次三项式的最简积分 58

4.1.6 三角有理函数的积分法 59

4.1.7 某些无理函数的积分法 61

4.1.8 一些特殊形式的不定积分问题 63

4.2 定积分的基本计算法 64

4.2.1 利用定义计算定积分 64

4.2.2 利用牛顿--莱布尼兹公式 65

4.2.3 定积分的换元积分法 66

4.2.4 定积分的分部积分法 68

4.2.5 利用定积分的性质及一些常用公式计算定积分 69

4.2.6 定积分的近似计算法 70

4.3 变上限的定积分 71

4.4 广义积分 73

4.4.1 两种类型广义分的计算法 73

4.4.2 广义积分的审敛法 75

4.5 若干综合题 76

第五章 多元函数积分法 79

5.1 二重积分的计算法 79

5.1.1 适当选择积分次序 79

5.1.2 适当选择坐标系 80

5.1.3 利用被积函数和积分区域的对称性简化计算 81

5.1.4 注意被积函数在不同分区域中的符号 83

5.1.5 二重积分的换元 84

5.1.6 利用格林公式将二重积分化为线积分 86

5.1.8 利用二重积分解决定积分有关问题 87

5.1.7 二重广义积分的计算 87

5.2 三重积分计算法 88

5.2.1 化为三次单积分 88

5.2.2 利用不同坐标计算(三重积分的换元) 88

5.2.3 计算三重积分的“先二后一”法 89

5.2.4 “求围定顶”法 91

5.3 曲线积分的计算法 93

5.3.1 第一型曲线积分的计算 93

5.3.2 第二型曲线积分的计算 95

5.4 曲面积分的计算法 100

5.4.1 第一型曲面积分的计算 100

5.4.2 第二型曲面积分的计算 101

6.1.1 直接判定法 107

6.1.2 正项级数收敛准则 107

第六章 有关级数问题的方法 107

6.1 数项级数敛散性的判定方法 107

6.1.3 比较判敛法 108

6.1.4 拉阿伯判敛法 111

6.1.5 积分判敛法 111

6.1.6 对数判敛法 112

6.1.7 任意项级数的收敛准则 113

6.1.8 莱布尼兹敛法 113

6.1.9 狄里赫利判敛法 115

6.2 幂级数解题方法 117

6.2.1 收敛半径的确定 117

6.2.2 函数展开成幕级数的方法 119

6.2.3 求幂级数和函数的方法 122

6.2.4 利用幂级数求数项级数的和 125

6.3 付立哀级数展开方法 127

6.3.1 正交函数族的讨论 127

6.3.2 周期函数的付立哀级数展开 128

6.3.3 在有限区间上定义的函数的付立哀展开 130

6.3.4 利用付立哀展开求数项级数的和 133

6.3.5 复数形式的付立哀级数 135

6.4 一致收敛性的判敛方法 136

第七章 微分方程的解法 138

7.1 一阶微分方程的解法 138

7.1.1 分离变量法 138

7.1.2 可化为齐次的微分方程的解法 139

7.1.3 可化为线性的微分方程的解法 142

7.1.4 全微分方程的解法 145

7.1.5 隐式微分方程的解法 150

7.2 某些高阶微分方程的解法 152

7.3 常系数线性微分方程的解法 156

7.3.1 待定系数法 156

7.3.2 微分算子法 158

7.3.3 降价法 161

7.3.4 常数变易法 162

7.3.5 “共轭方程”法 163

7.4 变系数线性微分方程的解法 164

7.4.1 欧拉方程及其它某些微分方程的解法 164

7.4.2 二阶线性微分方程的解法 165

7.5 常系数线性微分方程组的解法 168

8.1.2 极坐标方程曲线作图 172

8.1.1 函数作图的方法与步骤 172

第八章 一些应用题的解法 172

8.1 用微分的方法作函数的图形 172

8.2 空间曲线的切线法平面方程和曲面的切平面、法线方程 173

8.2.1 空间曲线的切线与法平面方程 173

8.2.2 曲面的切平面和法线方程 174

8.3 极值问题的解法 175

8.3.1 二元函数无条件极值的求法 175

8.3.2 二元函数条件极值的求法 178

8.3.3 最大值与最小值的求法 180

8.4 面积、体积和弧长的求法 181

8.4.1 求平面图形的面积 181

8.4.2 求空间体体积 185

8.4.4 求曲面的面积 188

8.4.3 求曲线弧的长度 188

8.5 质量、重心及转动惯量等的求法 190

8.5.1 求物体的质量 190

8.5.2 求物体的重心或质心 191

8.5.3 求物体的转动惯量 191

8.5.4 求变力所做的功 192

8.5.5 求引力、通量、环流量等 192

8.6 有关级数的一些应用题的解法 195

8.6.1 数值计算 195

8.6.2 幂级数在解微分方程中的应用 199

8.7 有关微分方程的一些应用题的解法 200

第九章 几种常用的论证方法 206

9.1 几种常用的论证方法 206

9.1.1 分析性证明法 206

9.1.2 综合性证明法 208

9.1.3 构造性证明法 209

9.1.4 归纳性证明法 210

9.1.5 反证性证明法 211

9.1.6 反例性证明法 211

9.1.7 计算性证明法 212

9.2 证明不等式的方法 212

9.2.1 配方法 212

9.2.2 逐项比较法 213

9.2.3 归纳法 213

9.2.4 放缩法 214

9.2.6 利用微分中值定理 215

9.2.7 利用泰勒公式 215

9.2.5 利用导数 215

9.2.8 凸函数法 216

9.2.9 利用级值和最值 217

9.2.10 判别式法 218

9.2.11 利用定积分的定义 218

9.2.12 利用定积分的质性 219

9.2.13 利用积分中值定理 220

9.2.14 将定积分化为重积分 220

9.3 证明方程根的存在性的方法 221

9.3.1 利用连续函数的介值定理 221

9.3.2 利用函数的单调性 221

9.3.3 利用微分中值定理 222

9.3.4 利用最大值与最小值定理 223

9.3.5 利用积分中值定理 223

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