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第一章 绪论 1

1 数值分析的对象与特点 1

2 误差来源与误差分析的重要性 2

3 误差的基本概念 5

3-1 误差与误差限 5

3-2 相对误差与相对误差限 6

3-3 有效数字 7

3-4 数值运算的误差估计 9

4 数值运算中误差分析的若干原则 11

习题 14

1 引言 16

第二章 插值法 16

2 拉格朗日插值 18

2-1 插值多项式的存在唯一性 18

2-2 线性插值与抛物插值 19

2-3 拉格朗日插值多项式 23

2-4 插值余项 24

3 埃特金逐步插值与牛顿插值公式 27

3-1 埃特金逐步插值 27

3-2 均差与牛顿插值公式 29

3-3 牛顿插值多项式余项 31

4 差分与等距节点插值式 33

4-1 差分及其性质 33

4-3 等距节点插值公式 36

5 埃尔米特插值 39

6 分段线性插值 43

7 分段三次埃尔米特插值 46

8 三次样条插值 48

8-1 三次样条函数 48

8-2 三转角方程 49

8-3 三弯矩方程 53

8-4 计算步骤与例题 54

8-5 三次样条插值的收敛性 55

习题 58

1-1 问题的提出 61

1 引言与预备知识 61

第三章 函数逼近与计算 61

1-2 维尔斯特拉斯定理 62

1-3 连续函数空间C(a, b) 64

2 最佳一致逼近多项式 65

2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 65

2-2 切比雪夫定理 66

2-3 最佳一次逼近多项式 69

2-4 里米兹算法 71

3 切比雪夫多项式 72

3-1 切比雪夫多项式的定义与性质 72

3-2 拉格朗日插值余项的极小化 75

3-3 幂级数项数的节约 78

4 最佳平方逼近 80

4-1 预备知识 80

4-2 函数的最佳平方逼近 83

4-3 用正交函数族作平方逼近 86

5 正交多项式 87

5-1 勒让德多项式 87

5-2 用勒让德多项式作平方逼近 91

5-3 其他常用的正交多项式 92

6 函数按切比雪夫多项式展开 94

7 曲线拟合的最小二乘法 96

7-1 什么是最小二乘法 96

7-2 用正交函数作最小二乘拟合 102

8 离散富氏变换及其快速算法 104

8-1 三角函数插值与离散富氏变换 105

8-2 快速富氏变换(FFT) 107

习题 113

第四章 数值积分与数值微分 117

1 引言 117

1-1 数值求积的基本思想 117

1-2 代数精度的概念 119

1-3 插值型的求积公式 119

2 牛顿-柯特斯公式 121

2-1 柯特斯系统 121

2-2 偶阶求积公式的代数精度 123

2-3 几种低阶求积公式的余项 124

2-4 复化求积法及其收敛性 125

3 龙贝格算法 129

3-1 梯形法的递推法 129

3-2 龙贝格公式 131

3-3 李查逊外推加速法 133

3-4 梯形法的余项展开式 135

4 高斯公式 138

4-1 高斯点 138

4-2 高斯-勒让德公式 139

4-3 高斯公式的余项 141

4-4 高斯公式的稳定性 142

4-5 带权的高斯公式 143

5 数值微分 145

5-1 中点方法 145

5-2 插值型的求导公式 147

5-3 实用的五点公式 150

5-4 样条求导 151

习题 153

第五章 常微分方程数值解法 156

1 引言 156

2 尤拉方法 157

2-1 尤拉公式 157

2-2 后退的尤拉公式 159

2-3 梯形公式 161

2-4 改进的尤拉公式 163

2-5 尤拉两步公式 164

3 龙格-库塔方法 167

3-1 台劳级数法 167

3-2 龙格-库塔方法的基本思想 169

3-3 二阶龙格-库塔方法 170

3-4 三阶龙格-库塔方法 171

3-5 四阶龙格-库塔方法 174

3-6 变步长的龙格-库塔方法 176

4 单步法的收敛性和稳定性 178

4-1 单步法的收敛性 178

4-2 单步法的稳定性 181

5 线性多步法 184

5-1 基于数值积分的构造方法 184

5-2 亚当姆斯显式公式 185

5-3 亚当姆斯隐式公式 187

5-4 亚当姆斯预测-校正系统 188

5-5 基于台劳展开的构造方法 190

5-6 米尔尼公式 193

5-7 哈明公式 194

6 方程组与高阶方程的情形 195

6-1 一阶方程组 195

6-2 化高阶方程为一阶方程组 198

7 边值问题的数值解法 199

7-1 试射法 200

7-2 差分方程的建立 201

6-1 矩阵的条件数 202

7-3 差分问题的可解性 203

7-4 差分方程的收敛性 205

习题 208

第六章 方程求根 211

1 根的搜索 211

1-1 逐步搜索法 211

1-2 二分法 212

1-3 比例求根法 215

2-1 迭代过程的收敛性 217

2 迭代法 217

2-2 迭代公式的加工 222

3 牛顿法 225

3-1 牛顿公式 225

3-2 牛顿法的几何解释 226

3-3 牛顿法的局部收敛性 227

3-4 牛顿法应用举例 229

3-5 牛顿下山法 231

4 弦截法与抛物线法 233

4-1 弦截法 234

4-2 抛物线法 239

5-1 多项式求值的秦九韶算法 241

5 代数方程求根 241

5-2 代数方程的牛顿法 243

5-3 劈因子法 244

习题 248

第七章 解线性方程组的直接方法 251

1 引言 251

2 高斯消去法 252

2-1 高斯消去法 252

2-2 矩阵的三角分解 257

2-3 计算量 259

3 高斯主元素消去法 260

3-1 完全主元素消去法 262

3-2 列主元素消去法 265

3-3 高斯--约当消去法 266

4 高斯消去法的变形 270

4-1 直接三角分解法 270

4-2 平方根法 275

4-3 追赶法 280

5 向量和矩阵的范数 283

6 误差分析 292

6-2 舍入误差 297

习题 301

1 引言 306

第八章 解线性方程组的迭代法 306

2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭法 308

2-1 雅可比迭代法 308

2-2 高斯-塞梅尔迭代法 310

3 迭代法的收敛性 312

4 解线性方程组的超松弛迭代法 319

习题 326

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 330

1 引言 330

2 幂法及反幂法 333

2-1 幂法 333

2-2 加速方法 337

2-3 反幂法 341

3 雅可比方法 345

3-1 引言 345

3-2 雅可比方法 346

3-3 雅可比过关法 353

4 豪斯荷不德方法 354

4-1 初等反射阵及性质 355

4-2 用正交相似变换约化矩阵 358

5 对称三对角阵的特征值计算 364

5-1 序列？(λ)？是一个斯斗姆序列 365

5-2 求对称三对角矩阵特征值的二分法 369

习题 374

部分习题答案 376

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