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前言 1

走向数学 1

1.世界通用的语言——数 1

2.数一数宇宙的沙粒——大数 2

3.驯服大数——位值制 4

4.加减乘除出新数——数系的扩大 5

5.比比看——等与不等 7

6.测量引起的危机——不可通约量的出现 8

7.丰富多彩的三角形——三角形的恒等与相似 10

8.周长与面积——海仑公式 11

9.径1周3——π的故事 13

10.圆规直尺够用吗——几何作图 15

11.神坛加倍引出的问题——几何三大问题 16

12.曲线的新家族——圆锥曲线 18

13.神秘的柏拉图立体——正多面体 19

14.美丽的图形——对称性 21

15.数学的圣经——欧几里得《几何原本》 23

神秘的数 25

16.画出来的数——图形数 25

17.乘法的原子——素数 27

18.正整数找到了归宿——素因子唯一分解定理 28

19.求同存异——最大公因数和最小公倍数 30

20.素数知多少——素数定理 32

21.素数中的孪生兄弟——双生素数 33

22.素数的近亲——伪素数 36

23.整数的乘法分析——费尔马数的因子分解 38

24.十全十美的数——完全数和马桑素数 40

25.免掉麻烦——同余理论 41

26.整数的加法分析——加法表示 43

27.Eureka!(我发现了)——Num＝△+△+△ 45

28.用平方数能表示所有整数吗——四平方和定理 46

29.立方数呢——华林问题 48

30.到1+1的艰苦攀登——哥德巴赫猜想 50

数之间的微妙关系 52

31.埃及的分数——单位分数 52

32.毕达哥拉斯的直角三角形——勾股定理 54

33.丢番图的年纪——由确定方程到不定方程 55

34.物不知其数——中国剩余定理 57

35.无限繁殖的兔子——菲波那奇数 58

36.张冠李戴的方程——佩尔方程 59

37.永远除下去——连分数 61

38.更高一次——三次不定方程 63

39.数学女王的桂冠——费尔马大定理 65

40.无穷无尽的推广——欧拉的猜想 67

41.唯一因子分解定理不成立之时——代数数论 68

42.有理数与无理数的差别——丢番图逼近 70

43.不满足代数方程的数——超越数 72

44.圆内有多少格子点——格点问题 73

45.数学的女王——数论 75

46.无处不在的表示——阶乘 77

组合数学与图论 77

47.有多少种安排——排列与组合 78

48.奇异的三角形——杨辉三角 80

49.奇妙的关系——二项式定理 82

50.至关重要的数——伯努利数 83

51.龟背上的纵横图——幻方 86

52.36军官问题——正交拉丁方 88

53.散步增友谊——寇克曼15女生问题 90

54.台面上的礼貌——夫妻围坐问题 91

55.有多少种同分异构体——波利亚定理 93

56.环游世界——哈密尔顿游戏 95

57.比赛出冠军——比赛图 97

58.画地图用多少颜色——四色问题 98

59.有400人就有不少人同一天过生日——抽屉原理 100

60.都认识或都不认识——拉姆赛理论 101

代数 104

61.符号的重要——从算术到代数 104

62.怎样解题——代数方程和代数方程组 106

63.分圆与开方——虚数与复数 108

64.多个变元多个方程——线性方程组 109

65.数的阵列——行列式 111

66.投入与产出——矩阵 113

67.根的置换——置换与置换群 115

68.伽罗华的悲剧——高次方程的根式解 117

69.1+2+……+100——等差级数及其他 118

70.(1+2)+(2+2)+……+(100+2)——等幂和问题 120

71.项数无穷的困惑——无穷级数 122

72.比较就能判别——收敛与发散 124

73.对称无处不在——群与群论 126

74.更上一层楼——四元数 127

75.数学中的新家族——抽象代数 129

几何 132

76.数与形的联姻——坐标 132

77.曲线与方程——解析几何 133

78.形形色色的曲线——代数曲线与超越曲线 135

79.怎样分类——曲线的分类 137

80.把图形画在纸上——射影几何 138

81.共点与共线——德萨格定理 139

82.点与线的对应——对偶定理 141

83.唯我独尊——欧几里得几何 143

84.对欧氏几何的挑战——非欧几何 145

85.平行线不止一条——罗巴切夫斯基几何 146

86.群与几何学——埃尔兰根计划 148

87.笔直与弯曲——曲率 149

88.地球上两点间最短航线——测地线 151

89.张在铁丝架上的肥皂膜——极小曲面 153

90.走向新空间——各种几何学 154

拓扑学 157

91.哥尼斯堡的七桥——一笔画问题 157

92.多面体的秘密——欧拉公式 158

93.把平面分成两部分——若尔当定理 160

94.填满空间的曲线——维数 161

95.单侧的带子——莫比乌斯带 163

96.直线构成的空间——射影平面 164

97.装不进水的瓶子——克莱因瓶 166

98.球不分大小——球面拓扑学 167

99.轮胎上的几何——环面拓扑学 169

100.各种曲面——闭曲面的分类 170

101.有边无边的争论——无边缘的流形 171

102.庞加莱的妙法——拓扑不变量 173

103.走向更高的维数——流形 175

104.网络能布在平面上吗——嵌入问题 176

105.现代数学的女王——拓扑学 178

分析 180

106.联系四个量的美妙公式——欧拉公式 180

107.不断反复的波形曲线——三角函数 182

108.越来越快的增长——指数函数与对数函数 183

109.分析的中心——函数 185

110.速度与切线——微分法 187

111.面积与体积——积分法 188

112.开门与关门——微积分基本定理 190

113.多项式走向无穷——泰勒展开 191

114.半个世纪的争论——傅立叶级数 193

115.函数值的计算——函数逼近论 194

116.处处没有切线的连续曲线——不可微连续函数 196

117.走向极端——极大极小问题 197

118.一根绳子圈出的面积——等周问题 199

119.最快地逃离火海——最速降线问题 201

120.从有穷代数到无穷代数——数学分析今昔 202

概率统计及运筹学 204

121.政治算术——统计的起源 204

122.赌场产生的问题——概率 205

123.观察与实验的必经之路——最小二乘法 208

124.数据的描述——总体与样本 209

125.两头小中间大——正态分布 211

126.多次试验出规律——大数定律与中心极限定理 212

127.由小知大——大样本与小样本 213

128.身材是怎样遗传的——回归与相关 214

129.药真的有效吗——假设检验 216

130.醉汉的行走——布朗运动 218

131.运筹帷幄之内——运筹学 220

132.多快好省搞四化——线性规划 221

133.0.618——优选法 223

134.囚徒的两难——对策论 224

135.什么时候大修——可靠性理论 226

数学基础与数理逻辑 228

136.桌子、椅子、啤酒杯——公理系统 228

137.数学中永恒的问题——无穷 230

138.无穷与无穷也不一样——康托尔集合论 232

139.集合中的子集——子集合有多少 233

140.连续性的矛盾——芝诺悖论 235

141.实数线上有多少点——连续统假设 236

142.能够选出代表吗——选择公理 238

143.理发师的两难处境——罗素悖论 239

144.一连串的悖论——集合论悖论与语义悖论 241

145.为消除悖论而战——公理集合论 242

146.一场大论战——逻辑主义、直觉主义与形式主义 244

147.数学的一揽子计划——希尔伯特纲领 246

148.行得通与行不通——哥德尔不完全定理 247

149.计算行得通吗——可计算性 248

150.无穷无尽的探索——数学基础与数理逻辑 250

参考书目选 253

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