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第一章 准备知识 1

1 欧氏空间的映射 1

1.1 映射的微分 链规则 1

1.2 反函数定理 6

1.3 秩定理 13

1.4 Sard定理 16

2 多重线性代数 17

2.1 向量空间 对偶空间 17

2.2 张量积 张量代数 20

2.3 对称和反(对)称张量 26

2.4 外代数 30

2.5 欧氏向量空间 37

习题 40

第二章 微分流形 43

1 微分流形的基本概念 43

1.1 微分流形的定义 43

1.2 实射影空间Pm(R) Grassmann 流形 47

1.3 流形的映射 52

1.4 浸入与淹没 子流形 55

1.5 单位分解 65

习题 68

2 向量场 70

2.1 切空间 切映射 70

2.2 切丛 向量场 76

2.3 单参数变换群 83

2.4 分布 Frobenius 定理 叶状结构 90

习题 95

3.1 张量场 97

3 张量场 97

3.2 外微分 100

3.3 黎曼度量 111

习题 116

4 流形上的积分 Stokes定理 118

4.1 流形的定向 118

4.2 带边界流形 121

4.3 流形上的积分 Stokes定理 126

习题 132

1 仿射联络 135

1.1 Rm及其子流形上的联络 135

第三章 联络与曲率 135

1.2 微分流形上的仿射联络 138

1.3 仿射联络的挠率和曲率 141

习题 146

2 黎曼联络 147

2.1 黎曼联络 147

2.2 共变微分 153

习题 161

3 曲率 164

3.1 曲率张量 164

3.2 截面曲率 Ricci曲率 纯量曲率 170

3.3 共形变换 177

习题 182

4.1 Hodge星算子 184

4 调和形式 184

4.2 Laplace-Beltrami算子 190

4.3 Hodge定理及其几何应用 197

习题 203

第四章 测地线 204

1 测地线与测地完备性 204

1.1 测地线与指数映射 法坐标系 204

1.2 测地完备性 214

习题 219

2 弧长的变分 221

2.1 弧长的变分 221

2.2 Jacobi场 226

2.3 共轭点 231

习题 237

3 曲率与拓扑 238

3.1 指标引理 Myers定理 238

3.2 非正曲率流形的Hadamard定理 244

习题 248

4 比较定理 249

4.1 Hessian比较定理 249

4.2 Laplacian比较定理 255

4.3 体积比较定理 260

习题 266

第五章 黎曼子流形 268

1 子流形的基本公式 268

1.1 等距浸入 268

1.2 基本方程 273

1.3 活动标架法 276

1.4 常曲率空间的子流形 279

习题 281

2 超曲面 282

2.1 超曲面的基本公式及其应用 282

2.2 主曲率 287

2.3 欧氏空间的超曲面 293

习题 300

3 极小子流形 302

3.1 体积的变分 302

3.2 欧氏空间的极小子流形 309

3.3 球面上的极小子流形 312

3.4 Simons不等式 316

习题 320

4 全绝对曲率与Gauss映射 322

4.1 Lipschitz-Killing曲率 322

4.2 全绝对曲率 327

4.3 Gauss映射 331

4.4 Gauss映射的调和性 334

习题 336

附录Ⅰ 常微分方程组存在定理 338

附录Ⅱ Sard定理 344

附录Ⅲ 黎曼淹没 348

附录Ⅳ 广义极大原理 355

参考文献 360

索引 362

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