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上编 复变函数导论 1

第一章 复数和复变函数 1

1.1 复数 1

1.2 复数的几何表示 3

1.3 复变函数 10

1.4 单值函数 13

1.5 极限与连续 15

1.6 导数 19

1.7 解析 24

1.8 解析函数与调和函数的关系 26

1.9 多值函数与黎曼面 28

1.10 小结 37

第二章 复变函数的积分 49

2.1 复变函数的积分 49

2.2 解析函数的积分 52

2.3 柯西公式 57

2.4 柯西型积分 59

2.5 柯西导数公式 60

2.6 解析函数的不定积分 62

2.7 小结 65

第三章 级数 77

3.1 复数项级数 77

3.2 复变函数项级数 79

3.3 幂级数 81

3.4 解析函数与幂级数 84

3.5 解析函数与双边幂级数 88

3.6 解析函数的泰勒展开方法 91

3.7 解析函数的洛朗展开方法 94

3.8 孤立奇点 97

3.9 无限远点 102

3.10 小结 106

第四章 留数 128

4.1 柯西公式的另一种形式 128

4.2 应用级数分析留数定理 131

4.3 解析函数在无限远点的留数 133

4.4 利用留数定理计算实函数的定积分 135

4.5 广义积分的柯西主值 142

4.6 对数留数和辐角原理 146

4.7 围线积分方法 149

4.8 黎曼面上的多值函数积分 151

4.9 小结 155

第五章 解析延拓 169

5.1 解析函数的唯一性与解析延拓 169

5.2 含参变数的积分 175

5.3 Γ函数的解析延拓 178

5.4 小结 182

第六章 积分变换 188

6.1 傅里叶级数 188

6.2 傅里叶积分 191

6.3 傅里叶变换 194

6.4 拉普拉斯变换 197

6.5 黎曼-梅林公式 207

6.6 拉普拉斯变换的应用 210

6.7 小结 213

第七章 δ函数和广义函数 223

7.1 δ函数 223

7.2 广义函数论的基本概念 227

7.3 δ函数的常用公式 231

7.4 小结 241

第八章 数学物理方程的导出 247

8.1 振动方程 247

下编 数理方程和特殊函数 247

8.2 扩散方程和热传导方程 250

8.3 拉普拉斯方程 252

8.4 波动方程 253

8.5 线性方程和叠加原理 255

8.6 定解条件 257

8.7 小结 260

第九章 本征函数法 273

9.1 分离变量法 273

9.2 有界杆的导热问题 279

9.3 齐次边界条件和延拓 282

9.4 含非齐次边界条件的定解问题 286

9.5 按本征函数系展开方法解数理方程 290

9.6 正交曲线坐标系中的度规系数和拉普拉斯算符 294

9.7 亥姆霍兹方程的分离变量 297

9.8 斯特姆-刘维尔本征问题 300

9.9 圆形域中的调和函数 306

9.10 小结 314

第十章 勒让德多项式和球谐函数 344

10.1 球坐标系下的数理方程 344

10.2 常微分方程的幂级数解法 346

10.3 勒让德多项式 349

10.4 勒让德方程的本征值和本征函数 354

10.5 母函数和递推公式 357

10.6 勒让德多项式的模 362

10.7 具有轴对称性的物理问题 365

10.8 连带勒让德多项式 369

10.9 球谐函数 373

10.10 小结 378

第十一章 贝塞耳函数 398

11.1 柱坐标系下的偏微分方程 398

11.2 贝塞耳方程的幂级数解 400

11.3 整数阶贝塞耳函数 404

11.4 贝塞耳函数的性质 408

11.5 物理实例 413

11.6 第二类贝塞耳函数 417

11.7 贝塞耳函数的路径积分表示 424

11.8 柱函数 427

11.9 半奇数阶贝塞耳函数 430

11.10 变形贝塞耳函数 433

11.11 球贝塞耳函数 437

11.12 小结 441

第十二章 积分变换法 469

12.1 一维无界空间中的扩散 469

12.2 半无界的扩散问题 472

12.3 无界弦的振动 473

12.4 用拉普拉斯变换法解数理方程 476

12.5 小结 477

第十三章 格林函数 488

13.1 稳恒数理方程的格林函数 488

13.2 随时间变化的数理方程的格林函数 493

13.3 冲量定理法 499

13.4 一维边值问题的格林函数 507

13.5 拉普拉斯算符的格林公式 514

13.6 亥姆霍兹方程的格林函数 521

13.7 伴随算符和广义格林公式 524

13.8 自伴算符和自伴本征值问题 528

13.9 小结 531

第十四章 数学物理方程的分类 553

14.1 两个自变数的情况 553

14.2 特征线和方程的标准形式 556

14.3 多自变数方程的分类 558

14.4 小结 560

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