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第1章 矩阵的相似变换 1

1.1 特征值与特征向量 1

1.2 相似对角化 5

1.3 Jordan标准形介绍 9

1.4 Hamilton-Cayley定理 19

1.5 向量的内积 22

1.6 酉相似下的标准形 27

习题1 33

第2章 范数理论 36

2.1 向量范数 36

2.2 矩阵范数 42

2.2.1 方阵的范数 42

2.2.2 与向量范数的相容性 44

2.2.3 从属范数 45

2.2.4 长方阵的范数 49

2.3 范数应用举例 50

2.3.1 矩阵的谱半径 50

2.3.2 矩阵的条件数 52

习题2 54

第3章 矩阵分析 56

3.1 矩阵序列 56

3.2 矩阵级数 58

3.3 矩阵函数 64

3.3.1 矩阵函数的定义 64

3.3.2 矩阵函数值的计算 65

3.3.3 常用矩阵函数的性质 72

3.4 矩阵的微分和积分 74

3.4.1 函数矩阵的微分和积分 74

3.4.2 数量函数对矩阵变量的导数 76

3.4.3 矩阵值函数对矩阵变量的导数 78

3.5 矩阵分析应用举例 80

3.5.1 求解一阶线性常系数微分方程组 80

3.5.2 求解矩阵方程 82

3.5.3 最小二乘问题 83

习题3 85

第4章 矩阵分解 87

4.1 矩阵的三角分解 87

4.1.1 三角分解及其存在惟一性问题 87

4.1.2 三角分解的紧凑计算格式 90

4.2 矩阵的QR分解 94

4.2.1 Householder矩阵与Givens矩阵 94

4.2.2 矩阵的QR分解 100

4.2.3 矩阵酉相似于Hessenberg矩阵 105

4.3 矩阵的满秩分解 108

4.3.1 Hermite标准形 108

4.3.2 矩阵的满秩分解 112

4.4 矩阵的奇异值分解 114

习题4 118

第5章 特征值的估计与表示 120

5.1 特征值界的估计 120

5.2.1 Gerschgorin定理 123

5.2 特征值的包含区域 123

5.2.2 特征值的隔离 126

5.2.3 Ostrowski定理 127

5.3 Hermite矩阵特征值的表示 132

5.4 广义特征值问题 135

5.4.1 广义特征值问题 135

5.4.2 广义特征值的表示 137

习题5 140

第6章 广义逆矩阵 141

6.1 广义逆矩阵的概念 141

6.2 {1}逆及其应用 142

6.2.1 {1}逆的计算及有关性质 142

6.2.2 {1}逆的应用 145

6.2.3 由{1}逆构造其他的广义逆矩阵 147

6.3 Moore-Penrose逆A+ 148

6.3.1 A+的计算及有关性质 148

6.3.2 A+在解线性方程组中的应用 150

习题6 154

第7章 矩阵的直积 155

7.1 直积的定义和性质 155

7.2 直积的应用 158

7.2.1 矩阵的拉直及其与直积的关系 158

7.2.2 线性矩阵方程的可解性及其求解 159

习题7 162

8.1 数域与映射 164

第8章 线性空间与线性变换 164

8.2 线性空间的定义与基本性质 166

8.3 基、维数与坐标 169

8.3.1 基与维数 169

8.3.2 坐标 170

8.3.3 基变换与坐标变换公式 172

8.4 线性子空间 175

8.4.1 子空间的概念 175

8.4.2 子空间的交与和、直和 178

8.5 线性变换 182

8.5.1 线性变换及其基本性质 182

8.5.2 线性变换的运算 184

8.5.3 线性变换的值域与核 187

8.6 线性变换的矩阵表示 189

8.6.1 线性变换的矩阵 189

8.6.2 线性变换矩阵的化简 193

8.6.3 不变子空间 196

8.7 欧氏空间 198

8.7.1 欧氏空间的概念 198

8.7.2 标准正交基 203

8.7.3 正交子空间 206

8.7.4 正交变换与对称变换 208

8.7.5 酉空间介绍 212

习题8 213

习题解答与提示 217

参考文献 249

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