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第1讲 特殊与一般互相转化的思维方法 1

一、从特殊到一般再到特殊 1

二、有时解一般问题并不比解特殊问题难 3

三、由特殊情况发现解题思路 4

四、微积分处理问题特色分析 5

第2讲 微积分中常用的几种解题方法 7

一、辅助函数构造解题法 7

（一）转化研究对象 7

（二）转化研究区域 8

（三）转化函数结构 9

（四）转化维数 9

二、反证法运用的某些规律 10

（一）怎样正确叙述反命题 10

（二）反证法在结论为特称命题中的应用 12

（三）反证法在结论为全称命题中的应用 13

（四）反证法在“不存在……”问题中的应用 14

（五）反证法在“惟一性”问题中的应用 14

三、化复杂问题为简单问题的方法 15

（一）置换法 15

（二）变换法 16

（三）递推法 17

（四）数学归纳法 18

四、变量化解题法 19

第3讲举 反例与定理推广 22

一、闭区间上的性质推广到开区间 24

二、有限长区间上的性质推广到无限长区间 24

三、平行类推 25

四、减弱条件结论不变 25

第4讲 非“初等”函数的处理方法 26

一、极限式表示的函数 26

二、微分形式表示的函数 26

三、积分形式表示的函数 27

四、变积分上限函数 27

五、行列式表示的函数 28

六、级数表示的函数 28

七、函数方程表示的函数 29

八、由微分方程给出的函数 30

九、由积分方程给出的函数 30

十、取整函数 31

十一、最大值、最小值函数 31

十二、由图形给出的函数 31

十三、反函数 32

十四、分段函数的不定积分 32

十五、反极限问题 33

第5讲 求极限方法 35

一、定义法 35

二、夹逼法 36

三、单调有界法 36

四、比值法 37

五、无穷小等价替代法 37

六、利用高阶无穷小求极限 40

七、利用两个重要极限求极限 40

八、洛毕达法则 41

九、利用导数定义求极限 42

十、利用微分中值定理求极限 42

十一、利用分部积分法求极限 43

十二、利用定积分定义求极限 43

十三、其他求极限方法综述 43

第6讲 不等式证明方法 46

一、第一类方法 46

（一）利用两个极限“保号性”定理证明不等式 46

（二）利用函数的最大值、最小值证明不等式 47

（三）利用单调性证明不等式 47

（四）利用函数凹、凸性证明不等式 48

（五）利用积分保号性证明不等式 48

二、第二类方法 49

（一）利用微分中值定理证明不等式 49

（二）利用柯西中值定理证明不等式 50

（三）利用泰勒公式证明不等式 50

（四）利用积分中值定理证明不等式 51

（五）利用积分换元法证明不等式 51

（六）利用分部积分法证明不等式 52

（七）利用二重积分证明不等式 52

第7讲 恒等式证明方法 56

一、利用“区间I上f（x）≡C？f′（x）=0”证明恒等式 56

二、利用对变积分上限函数求导证明恒等式 56

三、利用换元法证明不等式 57

四、利用分部积分法证明恒等式 58

五、利用最大值、最小值证明恒等式 58

六、利用泰勒展开式证明恒等式 59

七、利用代数恒等式证明恒等式 59

八、利用二重积分证明定积分恒等式 60

第8讲 方程根的处理方法 62

一、利用连续函数的介值定理 62

二、利用罗尔定理 62

三、利用驻点特性 63

四、利用函数单调性 64

五、利用最大值、最小值 64

六、利用各类中值定理 65

七、利用凹凸性 65

八、利用奇次多项式至少有一实根 66

九、利用迭代法 66

十、利用函数图形描绘的方法 66

第9讲 周期函数处理方法 68

第10讲 “均值”的处理方法 72

一、数列均值 72

二、函数均值 73

三、均值不等式 74

第11讲 求f（x）的若干方法 78

第12讲 找点问题的处理方法 83

第13讲 Taylor公式的解题方法 87

第14讲 求导数、积分的若干方法 92

一、求导数的若干方法 92

（一）求一阶导数方法 92

（二）求高阶导数方法 94

（三）不同坐标系导数的互相转换 96

（四）带积分号的函数求导 97

（五）杂题 98

二、求积分的若干方法 99

（一）不定积分 99

（二）定积分的计算 103

第15讲 解析几何解题方法介绍 105

第16讲 多元函数及其微分 112

一、多元函数的极限与连续性 112

二、偏导数、全微分与微分法 116

三、多元函数微分学的应用 125

第17讲 重积分 130

一、重积分的计算 130

（一）二重积分计算法 130

（二）三重积分计算法 132

二、线积分 134

（一）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 134

（二）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 135

三、曲面积分 136

（一）第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 136

（二）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 136

四、利用对称性简化积分运算 138

第18讲 级数 166

一、数值级数敛散性的判别法 166

二、幂级数 175

三、傅立叶（Fourier）级数 182

第19讲 微分方程 187

一、微分方程的基本概念 187

二、一阶微分方程的类型及其解法 187

三、高阶微分方程 192

（一）可降阶的微分方程 192

（二）高阶线性微分方程 193

（三）常系数线性微分方程 193

附录 本科生试题及参考解答 198

附录1 某学院试题（文科）及参考解答 198

附录2 某学院试题（工科）（上册）及参考解答 201

附录3 某大学试题（上册）及参考解答 205

附录4 某学院试题（工科）（下册）及参考解答 209

附录5 某大学试题（下册）及参考解答 213

后记 218

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