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第8章 向量代数与空间解析几何 1

8.1 空间直角坐标系 1

8.1.1 空间点的直角坐标 1

8.1.2 空间两点间的距离 2

习题8-1 3

8.2 向量代数 3

8.2.1 向量的概念 3

8.2.2 向量的加减法 4

8.2.3 向量与数的乘法 5

8.2.4 向量的坐标表示 5

8.2.5 利用坐标作向量的线性运算 6

8.2.6 向量的模及方向余弦 7

8.2.7 两向量的数量积 8

8.2.8 两向量的向量积 10

习题8-2 12

8.3 曲面及其方程 13

8.3.1 球面 13

8.3.2 柱面 14

8.3.3 二次曲面 15

习题8-3 19

8.4 空间曲线及其方程 19

8.4.1 空间曲线的一般方程 19

8.4.2 空间曲线的参数方程 20

8.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 20

习题8-4 21

8.5 平面及其方程 21

8.5.1 平面的点法式方程 21

8.5.2 平面的一般方程 22

8.5.3 两平面的夹角 25

8.5.4 点到平面的距离 26

习题8-5 26

8.6 空间直线及其方程 27

8.6.1 空间直线的一般方程 27

8.6.2 空间直线的对称式方程 27

8.6.3 直线的参数方程 29

8.6.4 两直线的夹角 29

8.6.5 直线与平面的夹角 30

习题8-6 31

总习题八 32

阅读材料8 非欧几何简介 33

第9章 多元函数微分法及其应用 36

9.1 多元函数 36

9.1.1 平面点集 36

9.1.2 多元函数的概念 38

9.1.3 多元函数的极限 40

9.1.4 多元函数的连续性 42

习题9-1 44

9.2 偏导数 45

9.2.1 偏导数的定义 46

9.2.2 偏导数的计算 47

9.2.3 高阶偏导数 49

习题9-2 51

9.3 全微分 52

9.3.1 全微分的定义 53

9.3.2 多元函数可微的条件 53

9.3.3 全微分在近似计算中的应用 56

习题9-3 57

9.4 多元复合函数的求导法则 58

9.4.1 多元复合函数求导的链式法则 58

9.4.2 一阶全微分形式的不变性 64

习题9-4 65

9.5 隐函数的微分法 66

9.5.1 由一个方程确定的隐函数的微分法 66

9.5.2 由方程组确定的隐函数的微分法 69

习题9-5 71

9.6 多元函数微分学的几何应用 72

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 72

9.6.2 曲面的切平面与法线 75

习题9-6 77

9.7 方向导数与梯度 77

9.7.1 方向导数 77

9.7.2 梯度 80

习题9-7 84

9.8 多元函数的极值和最值 85

9.8.1 多元函数极值的概念 85

9.8.2 极值的条件 85

9.8.3 条件极值与拉格朗日乘数法 87

9.8.4 多元函数的最值 91

习题9-8 94

总习题九 95

阅读材料9 从勾股定理到费马大定理 98

第10章 重积分 101

10.1 二重积分的概念和性质 101

10.1.1 引例 101

10.1.2 二重积分的概念 103

10.1.3 二重积分的性质 104

习题10-1 106

10.2 二重积分的计算 107

10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 107

10.2.2 二重积分的换元法 113

习题10-2 120

10.3 三重积分 122

10.3.1 三重积分的概念 122

10.3.2 直角坐标系下三重积分的计算 123

10.3.3 三重积分的换元法 126

习题10-3 131

10.4 重积分的应用 132

10.4.1 曲面的面积 132

10.4.2 质心 135

10.4.3 转动惯量 137

10.4.4 反常二重积分 139

习题10-4 141

总习题十 142

阅读材料10 分形几何简介 145

第11章 曲线积分与曲面积分 147

11.1 第一型曲线积分 147

11.1.1 引例 147

11.1.2 第一型曲线积分的定义和性质 148

11.1.3 第一型曲线积分的计算 150

习题11-1 152

11.2 第二型曲线积分 153

11.2.1 引例 153

11.2.2 第二型曲线积分的定义 154

11.2.3 第二型曲线积分的计算 156

11.2.4 两类曲线积分之间的联系 158

习题11-2 160

11.3 格林公式及其应用 161

11.3.1 格林公式 161

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 166

习题11-3 171

11.4 第一型曲面积分 172

11.4.1 第一型曲面积分的定义和性质 172

11.4.2 第一型曲面积分的计算 174

11.4.3 数量值函数积分的统一定义及其共性 176

习题11-4 177

11.5 第二型曲面积分 178

11.5.1 曲面的侧与有向曲面 178

11.5.2 第二型曲面积分的定义和性质 179

11.5.3 第二型曲面积分的计算法 182

11.5.4 两类曲面积分之间的联系 185

习题11-5 187

11.6 高斯公式与斯托克斯公式 188

11.6.1 高斯公式 188

11.6.2 斯托克斯公式 191

11.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件 195

习题11-6 196

11.7 场论初步 197

11.7.1 场的概念 197

11.7.2 向量场的通量与散度 198

11.7.3 向量场的环流量与旋度 201

习题11-7 203

总习题十一 204

阅读材料11 数学王子——高斯 206

第12章 无穷级数 209

12.1 常数项级数的概念和性质 209

12.1.1 常数项级数的基本概念 209

12.1.2 数项级数的基本性质 212

习题12-1 215

12.2 正项级数敛散性的判别法 216

12.2.1 正项级数收敛的充分必要条件 216

12.2.2 比较判别法及其极限形式 216

12.2.3 比值判别法与根值判别法 220

12.2.4 积分判别法 223

习题12-2 224

12.3 任意项级数的敛散性判别法 225

12.3.1 交错级数及其敛散性判别法 225

12.3.2 任意项级数的绝对收敛和条件收敛 227

习题12-3 230

12.4 幂级数 231

12.4.1 函数项级数 231

12.4.2 幂级数及其收敛域 232

12.4.3 幂级数的性质与级数的求和 236

习题12-4 239

12.5 函数展开成幂级数 239

12.5.1 泰勒级数 240

12.5.2 函数展开成幂级数的充分必要条件 241

12.5.3 函数展开成幂级数的方法 242

12.5.4 函数的幂级数展开式的应用 246

习题12-5 249

12.6 傅里叶级数 250

12.6.1 三角级数和三角函数系的正交性 250

12.6.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数 252

12.6.3 正弦级数和余弦级数 256

12.6.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 258

12.6.5 有限区间上的函数的傅里叶级数 261

习题12-6 264

总习题十二 265

阅读材料12 认识无穷 268

习题答案与提示 272

参考文献 285

附录 二阶和三阶行列式简介 286

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