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目录第一章　极限与连续 1

§1.1 函数 1

一、函数概念（1）　二、函数的几种特性（3）　三、反函数及其图形（5）　四、基本初等函数（7）　五、复合函数　初等函数 7

§1.2　数列的极限 15

一、数列及其简单性质（15）　二、数列的极限（17）　三、数列收敛的必要条件和充分条件（19）　四、数列极限的不等式性质（20） 五、子列 21

§1.3　函数的极限 22

一、x→∞时，函数f（x）的极限（22）　二、x→x？时，函数f（x）的极限 25

§1.4　极限的运算法则　极限的不等式性质 两个重要极限 29

一、极限的运算法则（29）　二、极限的不等式性质 33

三、两个重要极限 35

§1.5 无穷小量和无穷大量 无穷小量的比较 38

一、无穷小量（38）　二、无穷大量（40）　三、无穷小量的比较 43

§1.6　函数的连续性 46

一、函数的连续性（46）　二、函数的间断点及其分类（52）三、闭区间上连续函数的性质 55

§1.7　再论函数极限 58

一、函数极限的精确定义（58）　二、函数极限的一些基本性质的证明 62

习题 64

第二章　导数与微分 73

§2.1 导数概念 73

一、两个实例（73）　二、导数定义（76）　三、导数的几何意义和物理意义（80） 四、可导与连续的关系 81

§2.2　导数的运算法则和基本公式 82

一、导数的运算法则（82）　二、导数基本公式　初等函数的求导问题 89

§2.3　隐函数求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 90

一、隐函数的导数（90）　二、对数求导法（91）　三、由参数方程所确定的函数的导数 92

§2.4 高阶导数 94

一、n阶导数（94）　二、二阶导数的物理意义（95）　三、几个初等函数的n阶导数公式 95

§2.5　函数的微分 99

一、微分概念（99）　二、微分的运算法则和基本公式（102）　三、微分在近似计算中的应用 105

习题 107

第三章　导数的应用 115

§3.1　中值定理 115

§3.2　未定式的极限（罗必达法则） 118

一、？型未定式的极限（118）　二、？型未定式的极限（122）　三、其它类型未定式的极限 124

§3.3　函数的单调性　极值　最大值与最小值 128

一、函数单调性的判别法（128）　二、函数的极值及其求法（131）　三、最大值与最小值 135

§3.4 曲线的凹凸及拐点　渐近线　函数作图 138

一、曲线的凹凸及拐点（138）　二、渐近线（141）　三、函数作图 144

§3.5 曲率 147

一、曲率概念（147）　二、曲率半径　曲率圆 151

习题 153

第四章　不定积分 157

§4.1　不定积分的概念与性质 157

一、原函数与不定积分（157）　二、不定积分的性质（161）　三、基本积分公式（162）　四、直接积分法 164

§4.2　换元积分法 166

一、积分形式不变性（167）　二、第一类换元法 168

三、第二类换元法 178

§4.3　分部积分法 185

§4.4　有理函数与三角函数有理式的积分 193

一、有理函数的积分（194）　二、三角函数有理式的积分 202

习题 206

§5.1　定积分的概念 211

第五章　定积分及其应用 211

一、引出定积分概念的典型问题（211）　二、定积分定义（214）　三、定积分的几何意义 216

§5.2　定积分的基本性质 217

§5.3　定积分与不定积分的关系　牛顿-莱布尼兹公式 221

一、变上限的定积分及其对上限的导数（221）　二、牛顿-莱布尼兹公式 223

§5.4　定积分的换元积分法和分部积分法 225

一、定积分的换元积分法（225）　二、定积分的分部积分法 232

§5.5　定积分的应用 235

一、定积分的元素法（235）　二、平面图形的面积 237

三、体积（243） 四、平面曲线的弧长（246）　五、变力沿直线作功（249）　六、液体压力 251

§5.6　定积分的近似计算 255

一、矩形法（255）　二、梯形法（256）　三、抛物线法 257

§5.7　广义积分 261

一、无穷区间的广义积分（262） 二、被积函数有无穷间断点的广义积分 264

习题 267

§6.1　基本概念 273

第六章　常微分方程 273

§6.2　可分离变量的一阶微分方程 275

§6.3　齐次方程 278

§6.4　一阶线性微分方程 280

§6.5　可降阶的高阶微分方程 284

一、y（？）＝f（x）型的微分方程（284）　二、y″＝f（x,y′）型的微分方程（285）　三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 288

§6.6　线性微分方程及其解的结构 289

§6.7　二阶常系数齐次线性微分方程 293

§6.8　二阶常系数非齐次线性微分方程 296

习题 301

第七章　空间解析几何与向量代数 305

§7.1　空间直角坐标系 305

一、空间点的直角坐标（305）　二、两点间的距离 307

§7.2 向量及其加减法 向量与数量的乘法 309

一、向量概念（309）　二、向量的加减法（310）　三、向量与数量的乘法 311

§7.3　向量的坐标 312

§7.4　向量的乘法 316

一、两向量的数量积（316）　二、两向量的向量积 318

三、向量的混合积 320

§7.5　平面、直线方程 322

一、平面方程（322）　二、直线方程（325）　三、两平面的夹角（329）　四、两直线的夹角（329）　五、直线与平面的夹角（330）　六、点到平面的距离 331

§7.6　曲面及其方程 332

一、曲面方程的概念（332）　二、柱面方程（334）　三、旋转曲面 336

§7.7　二次曲面 338

一、椭球面（338）　二、双曲面（339）　三、抛物面 340

§7.8　空间曲线及其方程 341

一、空间曲线的方程（341）　二、空间曲线在坐标面上的投影 343

习题 344

第八章　二元函数的微分学 350

§8.1　二元函数的基本概念 350

一、二元函数（350）　二、二元函数的几何表示 353

三、二元函数的极限与连续性 354

§8.2　偏导数 357

一、偏导数的概念（357）　二、高阶偏导数 361

§8.3　全微分 362

§8.4　二元函数的微分法 367

一、复合函数的偏导数（367）　二、隐函数的求导公式 376

§8.5　偏导数的几何应用 377

一、空间曲线的切线及法平面（377）　二、曲面的切平面与法线 380

§8.6　二元函数的极值 382

一、二元函数的极值及判别法（382）　二、二元函数的最大值和最小值（385）　三、条件极值　拉格朗日乘数法 387

习题 392

第九章　二重积分与曲线积分 398

§9.1　二重积分的概念与性质 398

一、二重积分的概念（398）　二、二重积分的性质 403

§9.2　二重积分在直角坐标系中的计算 406

§9.3　二重积分在极坐标系中的计算 415

§9.4　二重积分的应用 422

一、几何应用——曲面的面积（422）　二、物理应用 425

§9.5　第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 428

一、第一型曲线积分的概念（428）　二、第一型曲线积分的计算 430

§9.6　第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 432

一、第二型曲线积分的概念（432）　二、第二型曲线积分的计算 435

§9.7　格林公式　平面曲线积分与路径无关的条件 438

一、格林公式（439）　二、平面曲线积分与路径无关的条件 441

习题 445

第十章　无穷级数 452

§10.1　数项级数 452

一、级数的概念（452）　二、收敛与发散（453）　三、级数的性质（454）　四、数项级数收敛的必要条件（455）　五、几何级数、P-级数、交错级数和正项级数（457）　六、达朗贝尔准则（459）　七、绝对收敛和条件收敛 461

§10.2　幂级数 462

一、幂级数的概念（462）　二、收敛半径（462）　三、幂级数的运算（464）　四、泰勒级数 468

§10.3　傅里叶级数 475

一、傅里叶公式（475）　二、傅里叶级数（476）　三、以2l为周期的函数的傅里叶级数 481

习题 483

附表　简单积分表 486

习题答案 499

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