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第一章 函数 1

第一节 函数概念 1

一、常量与变量 1

二、函数的定义 1

第二节 函数的表示法和函数的特性 4

一、函数的三种表示法 4

二、分段函数与反函数 4

三、函数的几种特性 6

第三节 基本初等函数及其图形 7

一、幂函数 7

二、指数函数 8

三、对数函数 8

四、三角函数 9

五、反三角函数 9

第四节 复合函数与初等函数 10

一、复合函数 10

二、初等函数 11

三、函数关系的建立 12

第五节 曲线直线化与函数尺 14

一、曲线直线化 14

二、函数尺、对数纸 17

第二章 函数的极限与连续 22

第一节 数列的极限 22

第二节 函数的极限 25

一、x→∞时函数的极限 25

二、x→x0时函数的极限 26

三、无穷小与无穷大 29

第三节 极限的四则运算法则 31

一、无穷小定理 31

二、极限的四则运算定理 32

第四节 极限存在准则与两个重要极限 34

一、准则Ⅰ与lim x→0 sinx/x 35

二、准则Ⅱ与lim x→∞(1+1/x)x 36

三、无穷小量的阶 39

第五节 函数的连续性 41

一、函数的连续概念 41

二、间断点及其分类 43

三、闭区间上连续函数的性质 45

四、初等函数的连续性 47

第三章 导数与微分 51

第一节 导数的概念 51

一、两个实例 51

二、函数的导数 52

三、函数的连续性与可导性的关系 55

第二节 几个基本初等函数的导数 56

一、常数的导数 56

二、幂函数的导数 57

三、正弦函数及余弦函数的导数 57

四、对数函数的导数 58

第三节 函数四则运算的导数 59

第四节 复合函数的导数 61

第五节 反函数的导数与隐函数的导数 64

一、反函数的导数 64

二、隐函数的导数 65

三、导数公式的汇集 67

第六节 高阶导数 68

第七节 导数的近似计算 69

一、图解法 69

二、解析法 69

第八节 微分 72

一、微分及其几何意义 72

二、函数四则运算的微分 74

三、高阶微分 74

四、一阶微分形式的不变性 75

第九节 由参数方程所确定的函数的导数 76

第十节 微分的应用 78

一、近似计算 78

二、误差估计 79

第四章 导数在函数研究上的应用 83

第一节 中值定理 83

一、罗尔定理 83

二、拉格朗日中值定理 84

三、柯西中值定理 86

第二节 洛必达法则 87

第三节 泰勒公式 89

一、用多项式近似表示函数 89

二、泰勒公式 91

第四节 单调函数 94

第五节 函数的极值 95

第六节 曲线的凹凸和拐点 101

一、凹凸和拐点的概念及判定法 101

二、函数图形的描绘 103

第七节 弧的微分与曲率 105

第五章 不定积分 109

第一节 原函数与不定积分的概念 109

第二节 基本积分公式和不定积分性质 111

一、基本积分公式 111

二、不定积分性质 112

第三节 换元积分法 114

第四节 分部积分法 122

第五节 有理函数与无理函数的积分举例 124

一、有理函数的积分举例 124

二、三角函数的有理式积分举例 128

三、简单无理式的积分举例 129

第六节 积分表的使用法 131

第六章 定积分及其应用 135

第一节 定积分的概念 135

一、两个实例 135

二、定积分的定义与几何意义 136

第二节 定积分的性质 139

第三节 牛顿——莱布尼兹公式 141

一、可变上限的定积分 141

二、牛顿——莱布尼兹公式 143

第四节 定积分法 145

一、换元积分法 145

二、分部积分法 147

三、定积分的近似计算——梯形法 147

第五节 定积分的应用 150

一、平面图形的面积 150

二、体积 151

三、平面曲线的弧长 154

四、变力所做的功 156

五、液体的静压力 157

六、函数的平均值 158

第六节 广义积分和Γ函数 160

一、无穷区间上的广义积分 161

二、被积函数有无穷型不连续点的广义积分 162

三、Γ函数 164

第七章 微分方程 167

第一节 微分方程的基本概念 167

第二节 一阶微分方程 169

一、可分离变量的微分方程 169

二、一阶线性微分方程 172

三、杂例 175

第三节 三种特殊类型的高阶微分方程 179

一、y（n）=f（x）型的微分方程 179

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 180

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 181

第四节 线性微分方程解的结构 182

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 184

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 190

一、f(x)=Pn(x)eax型 190

二、f(x)=eax〔Pn(x)cosβx+Pl(x)sinβx〕型 193

第七节 微分方程组举例 195

第八章 空间解析几何 向量代数 203

第一节 空间直角坐标系 203

一、空间点的直角坐标 203

二、空间两点的距离 204

第二节 空间曲面和曲线 206

一、曲面及其方程 206

二、空间曲线及其方程 209

三、空间曲线在坐标面上的投影 210

第三节 向量代数 213

一、向量的概念 213

二、向量的加减法、向量与数量的乘积 214

三、向量的坐标 217

四、两向量的数量积 221

五、两向量的向量积 223

第四节 空间平面和直线 227

一、平面的方程 227

二、空间直线的方程 230

第五节 二次曲面、锥面 233

一、五种常见的二次曲面 233

二、锥面 237

第六节 球面坐标、柱面坐标 238

一、球面坐标 239

二、柱面坐标 240

第九章 多元函数微分法 244

第一节 多元函数 244

一、一般概念 244

二、二元函数的极限和连续 246

第二节 偏导数 250

一、偏导数的概念 250

二、偏导数的几何意义 253

第三节 全微分及其应用 254

一、全增量与全微分的概念 254

二、全微分的应用 258

第四节 复合函数及隐函数的求导法则 261

一、复合函数的求导法则 261

二、隐函数的求导公式 264

第五节 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线 266

一、空间曲线的切线与法平面 266

二、曲面的切平面与法线 268

第六节 高阶偏导数 271

第七节 二元函数的泰勒公式 276

第八节 多元函数的极值 280

一、多元函数极值的概念及求法 280

二、多元函数的最大值与最小值 282

三、条件极值、拉格朗日乘数法 283

第十章 重积分 289

第一节 二重积分的概念和性质 289

一、二重积分的概念 289

二、二重积分的性质 291

第二节 二重积分的计算及应用 293

一、利用直角坐标计算二重积分 293

二、利用极坐标计算二重积分 300

三、二重积分的应用 304

第三节 广义二重积分 309

第四节 三重积分的概念 312

第五节 三重积分的计算 313

一、利用直角坐标计算三重积分 313

二、利用柱面坐标计算三重积分 316

三、利用球面坐标计算三重积分 318

四、物体的重心和转动惯量 320

第十一章 曲线积分、曲面积分 325

第一节 对弧长的曲线积分 325

一、对弧长的曲线积分的概念和性质 325

二、对弧长的曲线积分的计算 327

第二节 对坐标的曲线积分 329

一、对坐标的曲线积分的概念和性质 329

二、对坐标的曲线积分的计算 332

第三节 格林公式及其应用 337

一、格林公式 337

二、曲线积分与路径无关的条件 339

三、二元函数全微分的求积 341

第四节 曲面积分 344

一、对面积的曲面积分 344

二、对坐标的曲面积分 348

三、奥—高公式、斯托克斯公式 354

第十二章 无穷级数 365

第一节 数项级数 365

一、无穷级数的基本概念 365

二、级数的基本性质 367

三、正项级数的收敛判别法 369

四、交错级数、莱布尼兹判别法 373

五、绝对收敛和条件收敛 375

第二节 幂级数 378

一、函数项级数的一般概念 378

二、幂级数及其收敛性 379

三、幂级数的运算 381

第三节 函数展开为幂级数 383

一、泰勒级数 383

二、初等函数的幂级数展开式 385

第四节 幂级数的应用 388

一、泰勒级数在近似计算上的应用 388

二、欧拉公式 391

三、微分方程的幂级数解法 392

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